因数分解

■問題

${\displaystyle x^3+11x^2+32x+28}$

■答

${\displaystyle {\left(x+2\right)}^2\left(x+7\right)}$

■方針

因数定理を利用する

■解き方

${\displaystyle x=2}$ のとき

${\displaystyle {\left(-2\right)}^3+11\cdot {\left(-2\right)}^2+32\cdot \left(-2\right)+28}$

${\displaystyle =-8+44-64+28}$

${\displaystyle =0}$

よって式は${\displaystyle x-2}$ を因数に持つので

${\displaystyle \left(x+2\right)\text{×}A=x^3+11x^2+32x+28}$

となる式${\displaystyle A}$ が存在する。

よって${\displaystyle A}$ は

${\displaystyle A=\left(x^3+11x^2+32x+28\right)÷\left(x+2\right)}$ ${\displaystyle =x^2+9x+14}$

となる。

次に${\displaystyle A}$ を因数分解する．

掛け合わせて${\displaystyle x^2}$ となる組み合わせは ${\displaystyle \left(x,x\right)}$

掛け合わせて14となる組合わせは(2,7) (1,14)であるので

${\displaystyle \begin{array}{ccc}x& & 2\\ & \times & \\ x& & 7\end{array}\begin{array}{ccc}=& 2x& \\ & & \\ =& 7x& \end{array}}$

$2x+7x=9x$

となるので

${\displaystyle A=\left(x+2\right)\left(x+7\right)}$

となる．

よって

${\displaystyle x^3+11x^2+32x+28={\left(x+2\right)}^2\left(x+7\right)}$

となる。

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年7月21日