因数分解

■問題

${\displaystyle x^3+11x^2+32x+28}$

■答

${\displaystyle {\left(x+2\right)}^2\left(x+7\right)}$

■方針

因数定理を利用する

■解き方

係数がすべて正であるので，$x$に正の値を入れても与式は0になることはない．よって，負の値を代入する．

よって，与式は${\displaystyle x+2}$ を因数に持つので

${\displaystyle \left(x+2\right)\text{×}A=x^3+11x^2+32x+28}$

となる式${\displaystyle A}$ が存在する。

よって${\displaystyle A}$ は

${\displaystyle \begin{array}{ll}\hfill & x^2+9x+14\hfill \\ x+2\hfill & \overline{)x^3+11x^2+32x+28}\hfill \\ \hfill & x^3+2x^2\hfill \\ \hfill & \overline{9x^2+32x}\hfill \\ \hfill & 9x^2+18x\hfill \\ \hfill & \overline{14x+28}\hfill \\ \hfill & 14x+28\hfill \\ \hfill & \overline{0}\hfill \end{array}}$　筆算による整式の割り算を参照

よって

${\displaystyle A=\left(x^3+11x^2+32x+28\right)÷\left(x+2\right)}$ ${\displaystyle =x^2+9x+14}$

となる。

次に${\displaystyle A}$ をたすきがけ手法による因数分解する．

掛け合わせて${\displaystyle x^2}$ の係数の $1$ となる組み合わせは $\left(1,1\right)$ ， $\left(-1,-1\right)$

掛け合わせて $14$ となる組合わせは $\left(\mathrm{２},7\right)$ ， $\left(1,14\right)$ ， ${\displaystyle \left(-2,-7\right)}$ ， ${\displaystyle \left(-1,-14\right)}$ であるので

${\displaystyle \begin{array}{lllll}1\hfill & {}_{\searrow }{}_{\nearrow }\hfill & 2\hfill & \to \hfill & 2\hfill \\ 1\hfill & {}^{\nearrow }{}^{\searrow }\hfill & 7\hfill & \to \hfill & 7\hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & 9\hfill \end{array}}$

となる．よって

${\displaystyle A=\left(x+2\right)\left(x+7\right)}$

となる．

以上より

${\displaystyle x^3+11x^2+32x+28={\left(x+2\right)}^2\left(x+7\right)}$

となる。

　

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最終更新日： 2024年9月19日