逆演算子の公式の導出　{1/(D^2+a^2)}cosax　その1

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}\cos ax=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}x\sin ax}$

■導出その1

$3$\displaystyle{Y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{ iax }}$ ･･････(1)

とおく． $3$\displaystyle{{D}^{2}+{a}^{2}= $ D- ia $ $ D+ia $ }$ と因数分解できるので，

$3$\displaystyle{Y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- ia $ $ D+ia $ \hspace{2}}{e}^{ iax }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- ia \hspace{2}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+ia \hspace{2}}{e}^{ iax }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- ia \hspace{2}} \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+ia \hspace{2}}{e}^{ iax } \] }$

逆演算子の公式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}{e}^{ ax }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $a$ \hspace{2}}{e}^{ ax }}$ ⇒詳細

を利用すると

$3$\displaystyle{Y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- ia \hspace{2}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} ia+ia \hspace{2}}{e}^{ iax }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2ia \hspace{2}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- ia \hspace{2}}{e}^{ iax }}$

逆演算子の公式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- a \hspace{2}}F $x$ ={e}^{ ax }\displaystyle{ \int {e}^{ - ax }F $x$ dx }}$ ⇒詳細

を利用すると

$3$\displaystyle{Y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2ia \hspace{2}}{e}^{ iax }\displaystyle{ \int {e}^{ - iax }{e}^{ iax }dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2ia \hspace{2}}{e}^{ iax }\displaystyle{ \int dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2ia \hspace{2}}x{e}^{ iax }}$ ･･････(2)

ここでオイラーの公式

$3$\displaystyle{ {e}^{ ix }=\cos x+i\sin x }$

を利用すると，(2)式は次のように変形できる．

$3$\displaystyle{Y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2ia \hspace{2}}x $ \cos ax+i\sin ax $ }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}ix $ \cos ax+i\sin ax $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}x\sin ax- i\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}x\cos ax}$

また(1)式はオイラーの公式より

$3$\displaystyle{Y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}} $ \cos ax+i\sin ax $ }$

なので

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}\cos ax+i\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}\sin ax}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}x\sin ax- i\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}x\cos ax}$

となる．

よって，実部に注目すると，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}\cos ax=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}x\sin ax}$

導出その2はこちら

導出その3はこちら

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月17日

逆演算子の公式の導出 {1/(D^2+a^2)}cosax その1

■導出その1

逆演算子の公式の導出　{1/(D^2+a^2)}cosax　その1