逆演算子の公式の導出　{1/(D^2+a^2)}cosax　その3

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}\cos ax=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}x\sin ax}$

■導出その3

$3$\displaystyle{{D}^{2}+{a}^{2}= $ D+ia $ $ D- ia $ }$ と因数分解できるので

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D+ia $ $ D- ia $ \hspace{2}}\cos ax}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+ia \hspace{2}} \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- ia \hspace{2}}\cos ax \} }$

逆演算子の公式より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+ia \hspace{2}}{e}^{ iax }\displaystyle{ \int {e}^{ - iax }\cos axdx }}$

⇒積分のやり方はこちら

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+ia \hspace{2}}{e}^{ iax } $ \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}{e}^{ - i2ax }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+ia \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}{e}^{ - iax }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x{e}^{ iax } $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+ia \hspace{2}}{e}^{ - iax } $ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+ia \hspace{2}}x{e}^{ iax } $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}{e}^{ - iax }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}D\hspace{2}}{e}^{ iax }{e}^{ - iax }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ - iax }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}D\hspace{2}}{e}^{ iax }x{e}^{ iax }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}{e}^{ - iax }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}D\hspace{2}}1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ - iax }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}D\hspace{2}}x{e}^{ 2iax }}$

⇒積分のやり方はこちら

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}{e}^{ - iax }x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ - iax }\displaystyle{ \int x{e}^{ 2iax }dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}{e}^{ - iax }x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ - iax } $ - \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}{e}^{ i2ax }x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{ i2ax } $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}{e}^{ - iax }x- \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}{e}^{ iax }x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 8{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{ iax }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}x $ {e}^{ - iax }- {e}^{ iax } $ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 8{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{ iax }}$

オイラーの公式より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}x $ \cos ax- i\sin ax- \cos ax- i\sin ax $ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 8{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{ iax }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}x\sin ax+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 8{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{ iax }}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 8{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{ iax }}$ は線形同時微分方程式 $3$\displaystyle{ \left({ {D}^{2}+{a}^{2} }\right)y=0 }$ の一般解に含まれるため省略すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}\cos ax=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}x\sin ax}$

となる．

導出その1はこちら

導出その2はこちら

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月17日

逆演算子の公式の導出 {1/(D^2+a^2)}cosax その3

■導出その3

逆演算子の公式の導出　{1/(D^2+a^2)}cosax　その3