逆演算子の公式の導出　{1/(D^2+a^2)}cosax その2

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}\cos ax=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}x\sin ax}$

■導出その2

$3$\displaystyle{Y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{ iax }}$ ･･････(1)

とおく． $3$\displaystyle{{D}^{2}+{a}^{2}= $ D+ia $ $ D- ia $ }$ と因数分解できるので，

$3$\displaystyle{Y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D+ia $ $ D- ia $ \hspace{2}}{e}^{ iax }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+ia \hspace{2}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- ia \hspace{2}}{e}^{ iax }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+ia \hspace{2}} \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- ia \hspace{2}}{e}^{ iax } \] }$

逆演算子の公式より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+ia \hspace{2}}{e}^{ iax }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}D\hspace{2}}{e}^{ - iax }{e}^{ iax }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+ia \hspace{2}}{e}^{ iax }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}D\hspace{2}}1}$

逆演算子の公式より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+ia \hspace{2}}{e}^{ iax }x}$

$3$\displaystyle{={e}^{ - iax }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}D\hspace{2}}{e}^{ iax }{e}^{ iax }x}$

$3$\displaystyle{={e}^{ - iax }\displaystyle{ \int x{e}^{ i2ax }dx }}$

積分のやり方はこちら

これを計算すると

$3$\displaystyle{Y={e}^{ - iax } $ - \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}x{e}^{ i2ax }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{ i2ax } $ }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}x{e}^{ iax }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{ iax }}$

しかし， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{ iax }}$ は線形同時微分方程式 $3$\displaystyle{ \left({ {D}^{2}+{a}^{2} }\right)y=0 }$ の一般解に含まれるため省略する．

したがって

$3$\displaystyle{Y=- \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}x{e}^{ iax }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}x $ \cos x+i\sin x $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}\sin x- \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}\cos x}$ ･･････(2)

ここで，(1)より

$3$\displaystyle{Y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}{e}^{ iax }}$

オイラーの公式より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}} $ \cos x+i\sin x $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}\cos x+i\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}\sin x}$ ･･････(3)

よって(2)(3)より

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}\cos x+i\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}\sin x }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}\sin x- \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}\cos x }$

となり，実部を比較すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}}\cos x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}\sin x}$

導出その1はこちら

導出その3はこちら

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>逆演算子の公式 >>逆演算子の公式の導出　{1/(D^2+a^2)}cosax その2

学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月17日

逆演算子の公式の導出 {1/(D^2+a^2)}cosax その2

■導出その2

逆演算子の公式の導出　{1/(D^2+a^2)}cosax その2