証明

2階定数係数同次微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }+a{y}^{\prime }+by=0}$

の一般解は，特性方程式 $3$\displaystyle{{t}^{2}+at+b=0}$ の解によって以下のようになる．

(3)虚数解 $3$\displaystyle{{\lambda}\pm {\mu}i}$ の場合

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ {\lambda}x }\sin {\mu}x+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ {\lambda}x }\cos {\mu}x}$

■証明

特性方程式が虚数解 $3$\displaystyle{{\lambda}\pm {\mu}i}$ をもつ場合，特性方程式 $3$\displaystyle{f $t$ }$ は

$3$\displaystyle{f $t$ = \{ D- $ {\lambda}+{\mu}i $ \} \{ D- $ {\lambda}- {\mu}i $ \} }$

と表わせる．よって，微分演算子を用いると，2階定数係数同次微分方程式は

$3$\displaystyle{f $D$ y=0}$

$3$\displaystyle{ \{ D- $ {\lambda}+{\mu}i $ \} \{ D- $ {\lambda}- {\mu}i $ \} y=0}$ ･･････(1)

となる．実数解 $3$\displaystyle{\alpha }$ ， $3$\displaystyle{{\beta}}$ のときの証明より

$3$\displaystyle{ $ D- \alpha $ $ D- {\beta} $ =0}$ の一般解は $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ \alpha x }+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ {\beta}x }}$ であるので

$3$\displaystyle{\alpha ={\lambda}+{\mu}i}$ ， $3$\displaystyle{{\beta}={\lambda}- {\mu}i}$ とすると(1)の一般解は次のようになる．

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{p}_{1}{e}^{ $ {\lambda}+{\mu}i $ x }+\hspace{1}{p}_{2}{e}^{ $ {\lambda}- {\mu}i $ x }}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{p}_{1}{e}^{ {\lambda}x }{e}^{ i{\mu}x }+\hspace{1}{p}_{2}{e}^{ {\lambda}x }{e}^{ - i{\mu}x }}$ ･･････(2) ( $3$\displaystyle{\hspace{1}{p}_{1}}$ $3$\displaystyle{\hspace{1}{p}_{2}}$ は任意定数)

ここでオイラーの公式

$3$\displaystyle{{e}^{ ix }=\cos x+i\sin x}$

$3$\displaystyle{{e}^{ - ix }=\cos x- i\sin x}$

を利用して(2)を変形すると

$3$\displaystyle{ y=\hspace{1}{p}_{1}{e}^{ {\lambda}x } $ \cos {\mu}x+i\sin {\mu}x $ }$ $3$\displaystyle{ +\hspace{1}{p}_{2}{e}^{ {\lambda}x } $ \cos {\mu}x- i\sin {\mu}x $ }$

$3$\displaystyle{ =i $ \hspace{1}{p}_{1}- \hspace{1}{p}_{2} $ {e}^{ {\lambda}x }\sin {\mu}x }$ $3$\displaystyle{ + $ \hspace{1}{p}_{1}+\hspace{1}{p}_{2} $ {e}^{ {\lambda}x }\cos {\mu}x }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}=i $ \hspace{1}{p}_{1}- \hspace{1}{p}_{2} $ }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{2}= $ \hspace{1}{p}_{1}+\hspace{1}{p}_{2} $ }$ とおくと

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ {\lambda}x }\sin {\mu}x+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ {\lambda}x }\cos {\mu}x}$

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　最終更新日： 2024年5月17日