非同次項がsin axとcos axのとき

定数係数線形微分方程式

$3$\displaystyle{f $D$ y=h\sin ax+k\cos ax}$

について

(2) $3$\displaystyle{f $ ia $ =0}$ であり， $3$\displaystyle{t=ia}$ が特性方程式 $3$\displaystyle{f $t$ =0}$ の1重の解であれば，この微分方程式は

$3$\displaystyle{y=x $ A\sin ax+B\cos ax $ }$ という形の特殊解をもつ．

■導出

$3$\displaystyle{f $D$ y=h\sin ax+k\cos ax}$

両辺を $3$\displaystyle{f $D$ }$ で割ると

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}} $ h\sin ax+k\cos ax $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}h\sin ax+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}k\cos ax}$

$3$\displaystyle{=h\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}\sin ax+k\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}\cos ax}$ 　･･････(1)

ここで， $3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}{e}^{ iax } }$ を計算する．･･････(2)

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}{e}^{ iax }}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{C}_{1}x{e}^{ iax }}$ 　⇒詳しくはこちら

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{C}_{1}x $ \cos ax+i\sin ax $ }$ 　（オイラーの公式より）

一般的には $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{1}}$ は複素数なので

$3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{1}=\hspace{1}{c}_{1}+i\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}}$

とおくと

$3$\displaystyle{y=x $ \hspace{1}{c}_{1}+i\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1} $ $ \cos ax+i\sin ax $ }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{c}_{1}x\cos ax+i\hspace{1}{c}_{1}x\sin ax+i\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}x\cos ax- \hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}x\sin ax}$

$3$\displaystyle{= $ \hspace{1}{c}_{1}x\cos ax- \hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}x\sin ax $ +i $ \hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}x\cos ax+\hspace{1}{c}_{1}x\sin ax $ }$ 　･･････(3)

(2)より

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}{e}^{ iax }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}} $ \cos ax+i\sin ax $ }$

なので，(3)より

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}\cos ax+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}i\sin ax }$ $3$\displaystyle{ = $ \hspace{1}{c}_{1}x\cos ax- \hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}x\sin ax $ +i $ \hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}x\cos ax+\hspace{1}{c}_{1}x\sin ax $ }$

この式の実部と虚部を比較すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}\cos ax=\hspace{1}{c}_{1}x\cos ax- \hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}x\sin ax}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}\sin ax=\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}x\cos ax+\hspace{1}{c}_{1}x\sin ax}$

この2つの式を(1)に代入すると

$3$\displaystyle{y=h $ \hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}x\cos ax+\hspace{1}{c}_{1}x\sin ax $ +k $ \hspace{1}{c}_{1}x\cos ax- \hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}x\sin ax $ }$

$3$\displaystyle{=h\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}x\cos ax+h\hspace{1}{c}_{1}x\sin ax+k\hspace{1}{c}_{1}x\cos ax- k\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}x\sin ax}$

$3$\displaystyle{= $ h\hspace{1}{c}_{1}- k\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1} $ x\sin ax+ $ h\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}+k\hspace{1}{c}_{1} $ x\cos ax}$

$3$\displaystyle{h\hspace{1}{c}_{1}- k\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}=A}$ ， $3$\displaystyle{h\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}+k\hspace{1}{c}_{1}=B}$ とおくと

$3$\displaystyle{y=Ax\sin ax+Bx\cos ax}$

となる．

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　最終更新日： 2025年7月23日