定数係数線形微分方程式の非同次項が $3$\displaystyle{{e}^{ ax }}$ のときの解の導出

定数係数線形微分方程式

$3$\displaystyle{f $D$ y=k{e}^{ ax }}$ ･･････(1)

について

(2) $3$\displaystyle{f $a$ =0}$ であり， $3$\displaystyle{t=a}$ が特性方程式 $3$\displaystyle{f $t$ =0}$ の1重の解であれば，この微分方程式は $3$\displaystyle{y=Ax{e}^{ ax }}$ という形の特殊解をもつ．

■導出1

$3$\displaystyle{ f $t$ }$ が $3$\displaystyle{n}$ 次の多項式とする．(ただし $3$\displaystyle{{t}^{n}}$ の係数は1とする)

$3$\displaystyle{f $t$ =0}$ は $3$\displaystyle{t=a}$ で1重の解であるとすると

$3$\displaystyle{f $t$ = $ t- a $ g $t$ }$ $3$\displaystyle{g $a$ \neq 0}$

と表すことができる．

(1)の解を逆演算子を用いて表すと

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}k{e}^{ ax }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- a $ g $D$ \hspace{2}}k{e}^{ ax }}$

となる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g $D$ \hspace{2}}k{e}^{ ax }}$

この公式より

$3$\displaystyle{=k\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g $D$ \hspace{2}}{e}^{ ax }}$

$3$\displaystyle{g $a$ \neq 0}$ より，この公式を利用すると

$3$\displaystyle{=k\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g $a$ \hspace{2}}{e}^{ ax }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} g $a$ \hspace{2}}{e}^{ ax }}$

よって

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- a \hspace{2}} \{ \frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} g $a$ \hspace{2}}{e}^{ ax } \} }$

この公式より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} g $a$ \hspace{2}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- a \hspace{2}}{e}^{ ax }}$

この公式より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} g $a$ \hspace{2}}{e}^{ ax }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}D\hspace{2}}{e}^{ - ax }{e}^{ ax }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} g $a$ \hspace{2}}{e}^{ ax }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}D\hspace{2}}1}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} g $a$ \hspace{2}}{e}^{ ax }x}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} g $a$ \hspace{2}}x{e}^{ ax }}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} g $a$ \hspace{2}}=A}$ とおくと

$3$\displaystyle{y=Ax{e}^{ ax }}$

■導出2

$3$\displaystyle{ f $t$ }$ が $3$\displaystyle{n}$ 次の多項式とする．(ただし $3$\displaystyle{{t}^{n}}$ の係数は1とする)

$3$\displaystyle{f $t$ =0}$ の解を $3$\displaystyle{a,\hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2},\cdots ,\hspace{1}{b}_{ n- 1 }}$ とすると，(ただし $3$\displaystyle{a\neq \hspace{1}{b}_{i}}$ ， $3$\displaystyle{i=1,2,\cdots ,n- 1}$ )

$3$\displaystyle{f $t$ = $ t- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ t- \hspace{1}{b}_{2} $ $ t- \hspace{1}{b}_{1} $ $ t- a $ }$ ･･････(2)

と表すことができる．

(1)式を逆演算子を使って解を表すと

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}k{e}^{ ax }}$

この公式より

$3$\displaystyle{=k\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}{e}^{ ax }}$

(2)より

$3$\displaystyle{=k\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ D- \hspace{1}{b}_{2} $ $ D- \hspace{1}{b}_{1} $ $ D- a $ \hspace{2}}{e}^{ ax }}$

$3$\displaystyle{=k\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ D- \hspace{1}{b}_{2} $ $ D- \hspace{1}{b}_{1} $ \hspace{2}} \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- a \hspace{2}}{e}^{ ax } \] }$

この公式より

$3$\displaystyle{=k\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ D- \hspace{1}{b}_{2} $ $ D- \hspace{1}{b}_{1} $ \hspace{2}} \[ {e}^{ ax }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}D\hspace{2}}{e}^{ - ax }{e}^{ ax } \] }$

$3$\displaystyle{ {e}^{ - ax }{e}^{ ax }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ ax } \hspace{2}}{e}^{ ax }=1 }$ より

１この公式より

$3$\displaystyle{=k\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ D- \hspace{1}{b}_{2} $ $ D- \hspace{1}{b}_{1} $ \hspace{2}} \[ {e}^{ ax }x \] }$

$3$\displaystyle{=k\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ D- \hspace{1}{b}_{2} $ $ D- \hspace{1}{b}_{1} $ \hspace{2}}x{e}^{ ax }}$

$3$\displaystyle{=k\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ D- \hspace{1}{b}_{2} $ \hspace{2}} \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- \hspace{1}{b}_{1} \hspace{2}}x{e}^{ ax } \] }$

この公式より

指数法則より

この公式より

積分のやり方はこちら

$3$\displaystyle{=k\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ D- \hspace{1}{b}_{2} $ \hspace{2}} \[ {e}^{ \hspace{1}{b}_{1}x } \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a- \hspace{1}{b}_{1} \hspace{2}}x{e}^{ $ a- \hspace{1}{b}_{1} $ x }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ a- \hspace{1}{b}_{1} $ }^{2} \hspace{2}}{e}^{ $ a- \hspace{1}{b}_{1} $ x } \} \] }$

$3$\displaystyle{ {e}^{ \hspace{1}{b}_{1}x }{e}^{ $ a- \hspace{1}{b}_{1} $ x }={e}^{ ax } }$ より

分配法則より

$3$\displaystyle{ =k\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ D- \hspace{1}{b}_{2} $ \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a- \hspace{1}{b}_{1} \hspace{2}}x{e}^{ ax } $ }$ $3$\displaystyle{ - k\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ D- \hspace{1}{b}_{2} $ \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \( a- \hspace{1}{b}_{1} $ }^{2} \hspace{2}}{e}^{ ax } \) }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} a- \hspace{1}{b}_{1} \hspace{2}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ D- \hspace{1}{b}_{2} $ \hspace{2}}x{e}^{ ax } }$ $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} { $ a- \hspace{1}{b}_{1} $ }^{2} \hspace{2}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ D- \hspace{1}{b}_{2} $ \hspace{2}}{e}^{ ax } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} a- \hspace{1}{b}_{1} \hspace{2}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ D- \hspace{1}{b}_{2} $ \hspace{2}}x{e}^{ ax } }$ $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} { $ a- \hspace{1}{b}_{1} $ }^{2} $ a- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ a- \hspace{1}{b}_{2} $ \hspace{2}}{e}^{ ax } }$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} { $ a- \hspace{1}{b}_{1} $ }^{2} $ a- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ a- \hspace{1}{b}_{2} $ \hspace{2}}{e}^{ ax }}$ は $3$\displaystyle{f $D$ y=0}$ の一般解

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ ax }+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ \hspace{1}{b}_{1}x }+\hspace{1}{c}_{3}{e}^{ \hspace{1}{b}_{2}x }+\cdots +\hspace{1}{c}_{n}{e}^{ \hspace{1}{b}_{ n- 1 }x }}$

に含まれる．すなわち(1)の一般解に含まれる．

よって，特殊解としては，これを省略し

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} a- \hspace{1}{b}_{1} \hspace{2}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ D- \hspace{1}{b}_{2} $ \hspace{2}}x{e}^{ ax }}$

となる．この式を上と同様にして解くと

$3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} $ a- \hspace{1}{b}_{1} $ $ a- \hspace{1}{b}_{2} $ \hspace{2}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ D- \hspace{1}{b}_{3} $ \hspace{2}}x{e}^{ ax } }$ $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} $ a- \hspace{1}{b}_{1} $ { $ a- \hspace{1}{b}_{2} $ }^{2} $ a- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \cdots $ a- \hspace{1}{b}_{3} $ \hspace{2}}{e}^{ ax } }$

となる．同様に第2項は一般解に含まれる．よって省略すると

同様にして計算を繰り返すと

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} $ a- \hspace{1}{b}_{1} $ $ a- \hspace{1}{b}_{2} $ \cdots $ a- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \hspace{2}}x{e}^{ ax }}$

となる．ここで

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}k\hspace{2}}{\hspace{2} $ a- \hspace{1}{b}_{1} $ $ a- \hspace{1}{b}_{2} $ \cdots $ a- \hspace{1}{b}_{ n- 1 } $ \hspace{2}}=A}$

とおくと

$3$\displaystyle{y=Ax{e}^{ ax }}$

となる．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年7月23日

定数係数線形微分方程式の非同次項が のときの解の導出

■導出1

■導出2

定数係数線形微分方程式の非同次項が $3$\displaystyle{{e}^{ ax }}$ のときの解の導出