正規母集団の母分散 $3${{\sigma}}^{2}$ の信頼係数がγにおける信頼区間

正規分布 $3$\displaystyle{N $ {\mu},{{\sigma}}^{2} $ }$ に従う母集団からの標本 $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{2}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{n}}$ を取り出したときのそれそれの具体的な値(実現値) $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{n}}$ に対して

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right){s}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\chi}_{ n- 1 }^{2}\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}< {{\sigma}}^{2}< \frac{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right){s}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\chi}_{ n- 1 }^{2}\left({ 1- \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}}$ 　･･････(1)

は母分散 $3$\displaystyle{{{\sigma}}^{2}}$ の信頼係数 $3$\displaystyle{{\gamma}}$ の信頼区間である．

ただし

$3$\displaystyle{\alpha =1- {\gamma}}$ ：有意水準

$3$\displaystyle{{\chi}_{ n- 1 }^{2}\left({a}\right)}$ ：自由度 $3$n- 1$ の $3${{\chi}}^{2}$ 分布において $3$P\left({ X≧u }\right)=a$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
となる $3$u$ の値

$3$ {s}^{2}$ ：不偏分散

である．

■説明

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right){S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- \bar{X} }\right) }^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}\sim {{\chi}}^{2}\left({ n- 1 }\right)}$ 　⇒証明

ここで，「 $3$\displaystyle{ \sim {{\chi}}^{2}\left({ n- 1 }\right) }$ 」は，「 $3$\displaystyle{ {{\chi}}^{2}\left({ n- 1 }\right) }$ に従う」ことを意味する．

となる．ただし，確率変数 $3$\displaystyle{ {S}^{2} }$ は

$3$\displaystyle{{S}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- \bar{X} }\right) }^{2} }}$ 　･･････(2)

ただし， $3$\displaystyle{ \bar{X}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{X}_{i} } }$

で，標本の不偏分散である．

よって

$3$\displaystyle{{\chi}_{ n- 1 }^{2}\left({ 1- \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)< \frac{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right){S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}< {\chi}_{ n- 1 }^{2}\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

が成り立つ．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\chi}_{ n- 1 }^{2}\left({ 1- \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}> \frac{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right){S}^{2} \hspace{2}}> \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\chi}_{ n- 1 }^{2}\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\chi}_{ n- 1 }^{2}\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}< \frac{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right){S}^{2} \hspace{2}}< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\chi}_{ n- 1 }^{2}\left({ 1- \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right){S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\chi}_{ n- 1 }^{2}\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}< {{\sigma}}^{2}< \frac{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right){S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\chi}_{ n- 1 }^{2}\left({ 1- \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}}$ 　･･････(3)

(2)の $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n}}$ に実現値 $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{n}}$ を代入すると $3$\displaystyle{ {S}^{2} }$ は実現値 $3$\displaystyle{ {s}^{2} }$ （標本の不偏分散）となり(3)より(1)が得られる．

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最終更新日： 2024年8月22日

正規母集団の母分散の信頼係数がγにおける信頼区間

■説明

正規母集団の母分散 $3${{\sigma}}^{2}$ の信頼係数がγにおける信頼区間