区間推定

確率分布の分かっている母集団から，推定量を用いて未知の母数がある確率で存在する区間を定めることを区間推定という．

母集団から大きさ $3$\displaystyle{n}$ の標本 $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{2}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{n}}$ を取り出したときの未知の母数 $3${\theta}$ の推定量

$3$\displaystyle{{\Theta}={\Theta}\left({ \hspace{1}{X}_{1},\hspace{1}{X}_{2},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n} }\right)}$ ･･････(1)

を使って母数 $3$\displaystyle{{\theta}}$ の区間推定について説明する．

区間を定義する2つの推定量，上限の推定量： $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\Theta}}_{u}=\hspace{1}{{\Theta}}_{1}\left({ \hspace{1}{X}_{1},\hspace{1}{X}_{2},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n} }\right)}$ ，下限の推定量： $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\Theta}}_{2}=\hspace{1}{{\Theta}}_{2}\left({ \hspace{1}{X}_{1},\hspace{1}{X}_{2},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n} }\right)}$ の推定値 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\theta}}_{u}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\theta}}_{l}}$ に対して確率が

$3$\displaystyle{P\left({ \hspace{1}{{\theta}}_{u}< {\Theta}< \hspace{1}{{\theta}}_{l} }\right)={\gamma}}$ $3$\displaystyle{\left({ 0< {\gamma}< 1 }\right)}$ ･･････(2)

となるとき((2)では $3$\displaystyle{{\Theta}}$ を確率変数として扱っている)， $3$\displaystyle{{\theta}}$ の区間

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\theta}}_{u}< {\theta}< \hspace{1}{{\theta}}_{l}}$

を $3$\displaystyle{{\theta}}$ の信頼係数 $3$\displaystyle{{\gamma}}$ の信頼区間という．このようにして信頼区間を定めることを区間推定という

■母平均と母分散の区間推定

正規分布 $3$\displaystyle{N $ {\mu},{{\sigma}}^{2} $ }$ に従う母集団からの標本 $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n}}$ を取り出したときのそれそれの具体的な値(実現値) $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{n}}$ に対して

$3$\displaystyle{\bar{x}- \hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\sqrt{ \frac{\hspace{2} {s}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }< {\mu}< \bar{x}+\hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\sqrt{ \frac{\hspace{2} {s}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }}$

は母平均 $3$\displaystyle{{\mu}}$ の信頼係数 $3$\displaystyle{{\gamma}}$ の信頼区間である．⇒説明

ただし

$3$\displaystyle{\alpha =1- {\gamma}}$ ：有意水準

$3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({a}\right)}$ ：自由度 $3$\displaystyle{n- 1}$ の $3$\displaystyle{t}$ 分布において $3$\displaystyle{P\left({ X\geq u }\right)=a}$ となる $3$\displaystyle{u}$ の値( $3$t$ 分布の備考を参照 )

$3$\displaystyle{\bar{x}}$ ：平均値

$3$ {s}^{2}$ ：不偏分散

である．
正規分布 $3$\displaystyle{N $ {\mu},{{\sigma}}^{2} $ }$ に従う母集団からの標本 $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n}}$ を取り出したときのそれそれの具体的な値(実現値) $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{n}}$ に対して

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right){s}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\chi}_{ n- 1 }^{2}\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}< {{\sigma}}^{2}< \frac{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right){s}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\chi}_{ n- 1 }^{2}\left({ 1- \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}}$

は母分散 $3$\displaystyle{{{\sigma}}^{2}}$ の信頼係数 $3$\displaystyle{{\gamma}}$ の信頼区間である．⇒説明

ただし

$3$\displaystyle{\alpha =1- {\gamma}}$ ：有意水準

$3$\displaystyle{{\chi}_{ n- 1 }^{2}\left({a}\right)}$ ：自由度 $3$n- 1$ の $3${{\chi}}^{2}$ 分布において $3$P\left({ X\geq u }\right)=a$ となる $3$u$ の値( $3${{\chi}}^{2}$ 分布の備考を参照 )

$3$ {s}^{2}$ ：不偏分散

である．