正規母集団の母平均μの信頼係数がγにおける信頼区間

正規分布 $3$\displaystyle{N $ {\mu},{{\sigma}}^{2} $ }$ に従う母集団からの標本 $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{2}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{n}}$ を取り出したときのそれそれの具体的な値(実現値) $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{n}}$ に対して

$3$\displaystyle{\bar{x}- \hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\sqrt{ \frac{\hspace{2} {s}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }< {\mu}< \bar{x}+\hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\sqrt{ \frac{\hspace{2} {s}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }}$ 　･･････(1)

は母平均 $3$\displaystyle{{\mu}}$ の信頼係数 $3$\displaystyle{{\gamma}}$ の信頼区間である．

ただし

$3$\displaystyle{\alpha =1- {\gamma}}$ ：有意水準

$3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({a}\right)}$ ：自由度 $3$\displaystyle{n- 1}$ の $3$\displaystyle{t}$ 分布において $3$\displaystyle{P\left({ X\geq v }\right)=a}$ となる $3$\displaystyle{v}$ の値

$3$\displaystyle{\bar{x}}$ ：平均値

$3$ {s}^{2}$ ：不偏分散

である．

■説明

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \bar{X}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \frac{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{\sim N\left({ 0,{1}^{2} }\right)}$ 　⇒中心極限定理を参照

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right){S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- \bar{X} }\right) }^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}\sim {{\chi}}^{2}\left({ n- 1 }\right)}$ 　⇒証明

となる．

となる．ただし

$3$\displaystyle{\bar{X}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{X}_{i} }}$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{{S}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- \bar{X} }\right) }^{2} }}$ 　･･････(3)

である．

$3$\displaystyle{Y=\frac{\hspace{2} \bar{X}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \frac{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} } \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{Z=\frac{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right){S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}}$ とおくと

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}Y\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \frac{\hspace{2}Z\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}} } \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} \bar{X}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \frac{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} } \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \frac{\hspace{2} \text{ }\frac{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right){S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}\text{ } \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right) \hspace{2}} } \hspace{2}}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} \bar{X}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \frac{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} } \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \frac{\hspace{2} {S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \bar{X}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \frac{\hspace{2} {S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} } \hspace{2}}}$

は自由度 $3$\displaystyle{ n- 1 }$ の $3$\displaystyle{t}$ 分布に従う．よって

$3$\displaystyle{- \hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)< \frac{\hspace{2} \bar{X}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \frac{\hspace{2} {S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} } \hspace{2}}< \hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

が成り立つ．

$3$\displaystyle{- \hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\sqrt{ \frac{\hspace{2} {S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }< \bar{X}- {\mu}< \hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\sqrt{ \frac{\hspace{2} {S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{- \bar{X}- \hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\sqrt{ \frac{\hspace{2} {S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }< - {\mu}< - \bar{X}+\hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\sqrt{ \frac{\hspace{2} {S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{\bar{X}+\hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\sqrt{ \frac{\hspace{2} {S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }> {\mu}> \bar{X}- \hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\sqrt{ \frac{\hspace{2} {S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{\bar{X}- \hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\sqrt{ \frac{\hspace{2} {S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }< {\mu}< \bar{X}+\hspace{1}{t}_{ n- 1 }\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\sqrt{ \frac{\hspace{2} {S}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }}$ 　･･････(4)

(2)，(3)の $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n}}$ に実現値 $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{n}}$ を代入すると $3$\displaystyle{\bar{X}}$ は実現値 $3$\displaystyle{\bar{x}}$ ， $3$\displaystyle{{S}^{2}}$ は実現値 $3$\displaystyle{{s}^{2}}$ となり(4)より(1)が得られる．

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最終更新日： 2024年8月22日