カイ2乗分布の自由度の計算

正規分布 $3$\displaystyle{N $ {\mu},{{\sigma}}^{2} $ }$ に従う母集団からの標本 $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{2}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{n}}$ に対して

に従う．

■自由度の導出

$3$\displaystyle{\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- \bar{X} }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left{{ \left({ \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} }\right)- \left({ \bar{X}- {\mu} }\right) }\right} }^{2} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \left{{ { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} }\right) }^{2}- 2\left({ \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} }\right)\left({ \bar{X}- {\mu} }\right)+{ \left({ \bar{X}- {\mu} }\right) }^{2} }\right} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} }\right) }^{2} }- 2\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \left({ \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} }\right)\left({ \bar{X}- {\mu} }\right) }+\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \bar{X}- {\mu} }\right) }^{2} }}$

◆第2項のΣの計算

$3$\displaystyle{\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \left({ \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} }\right)\left({ \bar{X}- {\mu} }\right) }}$ $3$\displaystyle{=\left({ \bar{X}- {\mu} }\right)\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \left({ \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} }\right) }}$

$3$\displaystyle{=\left({ \bar{X}- {\mu} }\right)\left{{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{X}_{i} }- \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{\mu}} }\right}}$

$3$\displaystyle{=\left({ \bar{X}- {\mu} }\right)\left{{ n\bar{X}- n{\mu} }\right}}$

$3$\displaystyle{=n{\left({ \bar{X}- {\mu} }\right)}^{2}}$

◆第3項のΣの計算

$3$\displaystyle{\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \bar{X}- {\mu} }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=n{\left({ \bar{X}- {\mu} }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} }\right) }^{2} }- 2n{\left({ \bar{X}- {\mu} }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{+n{\left({ \bar{X}- {\mu} }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} }\right) }^{2} }- n{\left({ \bar{X}- {\mu} }\right)}^{2}}$

すなわち

$3$\displaystyle{\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- \bar{X} }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} }\right) }^{2} }- n{\left({ \bar{X}- {\mu} }\right)}^{2}}$ 　･･････(1)

(1)の両辺を $3$\displaystyle{ {{\sigma}}^{2} }$ で割る．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- \bar{X} }\right) }^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} }\right) }^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} n{ \left({ \bar{X}- {\mu} }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- \bar{X} }\right) }^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} }\right) }^{2} }- {\left({ \frac{\hspace{2} \bar{X}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{n} \hspace{2}} \hspace{2}} }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{i}- \bar{X} }\right) }^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}+{\left({ \frac{\hspace{2} \bar{X}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{n} \hspace{2}} \hspace{2}} }\right)}^{2}}$ 　･･････(2)

(2)の左辺

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}}\sim N\left({ 0,1 }\right)}$ 　(標準化を参照)．よって， $3$\displaystyle{\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} }\right) }^{2} }\sim {{\chi}}^{2}\left({n}\right)}$ 　･･････(3)

(2)の右辺の第2項

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \bar{X}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{n} \hspace{2}} \hspace{2}}\sim N\left({ 0,1 }\right)}$ 　(中心極限定理を参照)．よって， $3$\displaystyle{{\left({ \frac{\hspace{2} \bar{X}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{n} \hspace{2}} \hspace{2}} }\right)}^{2}\sim {{\chi}}^{2}\left({1}\right)}$ 　･･････(4)

カイ2乗分布の性質

$3$\displaystyle{\hspace{1}{Y}_{1}\sim {{\chi}}^{2}\left({m}\right)}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{Y}_{2}\sim {{\chi}}^{2}\left({n}\right)}$ ⇒ $3$\displaystyle{\hspace{1}{Y}_{1}+\hspace{1}{Y}_{2}\sim {{\chi}}^{2}\left({ m+n }\right)}$ 　･･････(5)

(2)，(3)，(4)，(5)より

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{X}_{i}- \bar{X} }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {{\sigma}}^{2} \hspace{2}}\sim {{\chi}}^{2}\left({ n- 1 }\right) }$

となる．

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最終更新日： 2024年6月3日