アークサインとアークコサインの関係

$3$\displaystyle{{\sin }^{ - 1 }y}$ ， $3$\displaystyle{{\cos }^{ - 1 }y}$ の間には

$3$\displaystyle{{\sin }^{ - 1 }y+{\cos }^{ - 1 }y=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　ただし， $3$\displaystyle{- 1\leq y\leq 1}$ 　･･････(1)

の関係がある．

◆導出

図のように単位円上に点 $3$\text{P}$ があり， $3$x$ 軸の正方向と線分 $3$\text{OP}$ のなす角を $3${\theta}$ とし， $3$y$ 軸の正方向と線分 $3$\text{OP}$ のなす角を $3$\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- {\theta}$ とすると

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=y}$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{\cos \left({ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- {\theta} }\right)=y}$ 　･･････(3)

の関係がある． $3$\displaystyle{\sin {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{\cos \left({ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- {\theta} }\right)}$ の逆関数が存在するためには， $3${\theta}$ の範囲は

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\leq {\theta}\leq \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　･･････(4)

となる．アークサイン，アークコサインを参照

(2)より

$3$\displaystyle{{\theta}={\sin }^{ - 1 }y}$ 　･･････(5)

(3)より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- {\theta}={\cos }^{ - 1 }y}$ 　･･････(6)

が得られる．(6)に(5)を代入し､式を整理すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- {\sin }^{ - 1 }y={\cos }^{ - 1 }y}$

$3$\displaystyle{{\sin }^{ - 1 }y+{\cos }^{ - 1 }y=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．

【参考】

(2)と(3)より

$3$\displaystyle{\cos \left({ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- {\theta} }\right)=\sin {\theta}}$

が得られる．三角関数の計算の基礎を参照

●グラフを用いた説明

$3$\displaystyle{{\theta}={\sin }^{ - 1 }y}$

のグラフを $3$y$ 軸に関して対称移動した

$3$\displaystyle{- {\theta}={\sin }^{ - 1 }y}$

$3$\displaystyle{{\theta}=- {\sin }^{ - 1 }y}$

のグラフをさらに $3${\theta}$ 軸方向に $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 平行移動した

$3$\displaystyle{{\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=- {\sin }^{ - 1 }y}$

$3$\displaystyle{{\theta}=- {\sin }^{ - 1 }y+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

グラフは

$3$\displaystyle{{\theta}={\cos }^{ - 1 }y}$

のグラフのグラフと重なる．

よって

$3$\displaystyle{{\cos }^{ - 1 }y=- {\sin }^{ - 1 }y+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\sin }^{ - 1 }y+{\cos }^{ - 1 }y=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

の関係が得られる．

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最終更新日： 2024年8月2日