対数関数の一般形

対数関数 $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{\log }_{a}x}$ のグラフを原点を中心に $3$x$ 軸方向，および， $3$x$ 方向に拡大した後，平行移動したグラフを表す関数は、一般的に

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{\log }_{\alpha }\left({ x+{\beta} }\right)+{\gamma}}$ 　･･････(1)

ただし， $3$\alpha > 0$ ， $3$\alpha \neq 1$ であるとする．

と表すことができる．(１)のことをKIT Mathematics Navigation では，対数関数の一般形ということにする．

■解説

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{\log }_{a}x}$ のグラフを，原点を中心に $3$x$ 軸方向に $3$u$ ， $3$x$ 方向に $3$v$ 拡大した後， $3$x$ 軸方向に $3$p$ ， $3$y$ 方向に $3$q$ 平行移動したグラフを表す関数は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} y- q \hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}}=\hspace{1}{\log }_{a}\frac{\hspace{2} x- p \hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}}$ 　･･････(2)

となる．この式に関しては，グラフの拡大→グラフの平行移動した関数を参考にするとよい．

(2)を以下のように式変形をする．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} y- q \hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}}=\hspace{1}{\log }_{a}\left({ x- p }\right)- \hspace{1}{\log }_{a}u}$ 　（∵ $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}\frac{\hspace{2}R\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}=\hspace{1}{\log }_{a}R- \hspace{1}{\log }_{a}S}$ 詳しくはここを参照）

$3$y- q=v\hspace{1}{\log }_{a}\left({ x- p }\right)- v\hspace{1}{\log }_{a}u$

$3$\displaystyle{y- q=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{a}\left({ x- p }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}} \hspace{2}}- v\hspace{1}{\log }_{a}u}$

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{a}\left({ x- p }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{a}{a}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}} } \hspace{2}}- v\hspace{1}{\log }_{a}u+q}$ 　（∵ $3$\hspace{1}{\log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{\log }_{a}R$ 詳しくはここを参照）

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{\log }_{ {a}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}} } }\left({ x- p }\right)- v\hspace{1}{\log }_{a}u+q}$ 　（∵ $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}R=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{b}R \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{b}a \hspace{2}}}$ 詳しくはここを参照）

$3$\displaystyle{{a}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}} }=\alpha }$ ， $3$- p={\beta}$ ， $3$- v\hspace{1}{\log }_{a}u+q={\gamma}$ とおくと

$3$y=\hspace{1}{\log }_{\alpha }\left({ x+{\beta} }\right)+{\gamma}$

となり，(1)が得られる．

$3$y=\hspace{1}{\log }_{\alpha }x$ のグラフの漸近線は $3$y$ 軸である．

$3$y=\hspace{1}{\log }_{\alpha }\left({ x+{\beta} }\right)+{\gamma}$ のグラフは $3$y=\hspace{1}{\log }_{\alpha }x$ のグラフを $3$y$ 方向に $3$- {\beta}$ ， $3$y$ 方向に $3${\gamma}$ 平行移動したものになる．

よって， $3$y=\hspace{1}{\log }_{\alpha }\left({ x+{\beta} }\right)+{\gamma}$ のグラフの漸近線は

直線 $3$x=- {\beta}$

となる．

今度は，極限を使った方法で $3$y=\hspace{1}{\log }_{\alpha }\left({ x+{\beta} }\right)+{\gamma}$ のグラフの漸近線を求めてみる．

$3$\alpha > 1$ のとき

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow - {\beta}+0 }\left{{ \hspace{1}{ \log }_{\alpha }\left({ x+{\beta} }\right)+{\gamma} }\right}}$ $3$\displaystyle{=\left{{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow - {\beta}+0 }\hspace{1}{ \log }_{\alpha }\left({ x+{\beta} }\right) }\right}+{\gamma}}$ $3$=- \infty+{\gamma}=- \infty$

$3$\displaystyle{0< \alpha < 1}$ のとき

$3$\alpha > 1$ ， $3$\displaystyle{0< \alpha < 1}$ のいずれの場合も，直線 $3$x=- {\beta}$ が $3$y=\hspace{1}{\log }_{\alpha }\left({ x+{\beta} }\right)+{\gamma}$ のグラフの漸近線となる．

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最終更新日： 2024年2月29日