変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{ $ { \tan }^{ - 1 }y $ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} \sqrt{ 2- {x}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 2 \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{ y{ \tan }^{ - 1 }y+{ \sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| {y}^{2}+1 \| }$ $3$\displaystyle{ =C }$

（ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする

$3$\displaystyle{g$y$dy=f$x$dx}$

両辺を積分して

$3$\displaystyle{\int g$y$dy=\int f$x$dx +C}$

■解き方

$3$\displaystyle{ $ { \tan }^{ - 1 }y $ {y}^{\prime }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{ 2- {x}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 2 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{ 2- {x}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} - $ - {x}^{2}+2 $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} \sqrt{ 2- {x}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} 2- {x}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2- {x}^{2} } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ より

$3$\displaystyle{ $ { \tan }^{ - 1 }y $ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2- {x}^{2} } \hspace{2}}}$

両辺に $3$\displaystyle{dx}$ をかける

$3$\displaystyle{ $ { \tan }^{ - 1 }y $ dy= $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2- {x}^{2} } \hspace{2}} $ dx}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int $ { \tan }^{ - 1 }y $ dy }}$ $3$\displaystyle{=\int \left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2- {x}^{2} } \hspace{2}} }\right)dx}$

⇒左辺の積分方法　 ⇒右辺の積分方法

$3$\displaystyle{ y{ \tan }^{ - 1 }y- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| {y}^{2}+1 \| }$ $3$\displaystyle{ =- { \sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ +C }$

整理するとS

（ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数）

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最終更新日： 2022年5月4日