同次形微分方程式に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{x{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} }+y}$

■答

$3$\displaystyle{y=\pm x\sqrt{ { \left({ \log \left|{x}\right|+C }\right) }^{2}- 1 }}$ 　　(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式を参照

■解き方

$3$\displaystyle{x{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} }+y}$

・ $3$\displaystyle{ x\neq 0 }$ の場合

両辺を $3$\displaystyle{x}$ で割ると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\frac{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

＊ $3$\displaystyle{x> 0}$ の時

$3$\displaystyle{x=\sqrt{ {x}^{2} }}$ より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\frac{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2} } \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\sqrt{ \frac{\hspace{2} {x}^{2}+{y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} }+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\sqrt{ 1+\frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} }+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=v}$ とおく．すなわち

$3$\displaystyle{y=vx}$

これを $3$\displaystyle{x}$ で微分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=v+x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

以上を(1)に代入すると

$3$\displaystyle{v+x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}}\sqrt{ 1+{v}^{2} }+v}$

$3$\displaystyle{x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}}\sqrt{ 1+{v}^{2} }}$

この式を整理すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}v\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1+{v}^{2} } \hspace{2}}dv=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx}$

両辺を積分すると

⇒左辺の積分方法はこちら

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}v\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1+{v}^{2} } \hspace{2}}dv }=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx }+C}$

(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

$3$\displaystyle{\sqrt{ 1+{v}^{2} }=\log \|x\| +C}$

$3$\displaystyle{v}$ を元に戻すと( $3$\displaystyle{v=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ )

$3$\displaystyle{\sqrt{ 1+\frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} }=\log \|x\| +C}$

$3$\displaystyle{\sqrt{ \frac{\hspace{2} {x}^{2}+{y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} }=\log \|x\| +C}$

両辺に $3$\displaystyle{x}$ をかけると

$3$\displaystyle{\sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} }=x $ \log \|x\| +C $ }$ 　　･････(2)

＊ $3$\displaystyle{x< 0}$ の時

$3$\displaystyle{x=- \sqrt{ {x}^{2} }}$ となり，同様に計算すると

$3$\displaystyle{\sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} }=x $ \log \|x\| - C $ }$ 　　･････(3)

$3$\displaystyle{C}$ は任意定数なので，(2)と(3)は数学的に同等である．

(2)を $3$\displaystyle{y}$ について解くと

$3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}={x}^{2}{\left({ \log \left|{x}\right|+C }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{{y}^{2}={x}^{2}{\left({ \log \left|{x}\right|+C }\right)}^{2}- {x}^{2}}$

$3$\displaystyle{{y}^{2}={x}^{2}\left{{ { \left({ \log \left|{x}\right|+C }\right) }^{2}- 1 }\right}}$

$3$\displaystyle{y=\pm x\sqrt{ { \left({ \log \left|{x}\right|+C }\right) }^{2}- 1 }}$

・ $3$\displaystyle{x=0}$ の場合

$3$\displaystyle{x=0}$ を微分方程式に代入すると， $3$\displaystyle{y=0}$ となるが，微分方程式の分数部分の分母が $3$\displaystyle{0}$ になってしますので $3$\displaystyle{y=0}$ は除外される.

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最終更新日： 2023年6月19日