線形微分方程式に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{x{y}^{\prime }+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2} \log x \hspace{2}}=4{x}^{2}}$

■答

$3$\displaystyle{ y=2{x}^{2}- \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \log x \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}C\hspace{2}}{\hspace{2} \log x \hspace{2}} }$

■ヒント

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+P $x$ y=Q $x$ }$

一般解

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \displaystyle{ \int Pdx } } $ \displaystyle{ \int Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }dx }+C $ }$

■解き方

$3$\displaystyle{x{y}^{\prime }+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2} \log x \hspace{2}}=4{x}^{2}}$ 　･････(1)

$3$\displaystyle{ \log x }$ と $3$\displaystyle{x}$ は自然対数の真数になっているので， $3$\displaystyle{x> 0}$ となる．

(1)式の両辺を $3$\displaystyle{x}$ で割ると

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x\log x \hspace{2}}=4x}$ 　･････(2)

線形微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+P $x$ y=Q $x$ }$

の一般解は

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \displaystyle{ \int Pdx } } $ \displaystyle{ \int Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }dx }+C $ }$

このことを利用すると，(2)の一般解は次のような式で求まる．

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x\log x \hspace{2}}dx } } $ \displaystyle{ \int 4x{e}^{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x\log x \hspace{2}}dx } }dx }+C $ }$

⇒ $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x\log x \hspace{2}}dx } }$ の積分方法はこちら

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \log \| \log x \| } $ \displaystyle{ \int 4x{e}^{ \log \| \log x \| }dx }+C $ }$

・ $3$\displaystyle{\log x\geq 0}$ ，すなわち， $3$\displaystyle{x\geq 1}$ のとき

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \log \left({ \log x }\right) }\left({ \int 4x{e}^{ \log \left({ \log x }\right) }dx+C }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log x \hspace{2}}\left({ \int 4x\log xdx+C }\right)}$

⇒ $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int $ 4x\log x $ dx } }$ の積分法方はこちら

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log x \hspace{2}} $ 2{x}^{2}\log x- {x}^{2}+C $ }$

$3$\displaystyle{=2{x}^{2}- \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \log x \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}C\hspace{2}}{\hspace{2} \log x \hspace{2}}}$ 　　　･････(3)

・ $3$\displaystyle{\log x< 0}$ のとき，すなわち， $3$\displaystyle{x< 1}$ のとき

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \log \left({ - \log x }\right) }\left({ \int 4x{e}^{ \log \left({ - \log x }\right) }dx+C }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} - \log x \hspace{2}}\left({ \int 4x\left({ - \log x }\right)dx+C }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log x \hspace{2}}\left({ 2{x}^{2}\log x- {x}^{2}- C }\right)}$

$3$\displaystyle{=2{x}^{2}- \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \log x \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}C\hspace{2}}{\hspace{2} \log x \hspace{2}}}$ 　　　･････(4)

$3$\displaystyle{C}$ は任意定数なので，(3)と(4)は数学的に同等である．

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最終更新日： 2023年6月20日