微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{ $ {D}^{2}- 8D+15 $ y={e}^{ 4x }}$

■答

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ 3x }+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ 5x }- {e}^{ 4x }}$

(ただし， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{2}}$ は任意定数)

■ヒント

逆演算子を部分分数に分解して解く．この公式を参照．

■解き方

●特殊解

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}- 8D+15 \hspace{2}}{e}^{ 4x }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- 5 $ $ D- 3 $ \hspace{2}}{e}^{ 4x }}$

部分分数に分解する

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- 5 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- 3 \hspace{2}} $ {e}^{ 4x }}$

この公式を利用するする

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ {e}^{ 5x }\displaystyle{ \int {e}^{ - 5x }\cdot {e}^{ 4x }dx } }$ $3$\displaystyle{ - {e}^{ 3x }\displaystyle{ \int {e}^{ - 3x }\cdot {e}^{ 4x }dx } $ }$