微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y=\sqrt[3]{ 4- {x}^{2} } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=- \frac{\hspace{2} 2x \hspace{2}}{\hspace{2} 3\sqrt[3]{ { \left({ 4- {x}^{2} }\right) }^{2} } \hspace{2}}}$

■ヒント

合成関数の微分より

$3$\displaystyle{{ \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) {g}^{\prime } $x$ }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ y=\sqrt[3]{ 4- {x}^{2} } }$

（計算しやすいように，式を指数を用いた形に変形する）

$3$\displaystyle{ ={ $ 4- {x}^{2} $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } }$

（ $3$\displaystyle{ \sqrt[3]{ 4- {x}^{2} }={ $ 4- {x}^{2} $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } }$ ）

$3$\displaystyle{ y=f$u$={u}^{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}} }$ ， $3$\displaystyle{ u=g$x$=4- {x}^{2} }$

とおくと

$3$\displaystyle{ y=f$g\(x$\) }$

となる．

合成関数の公式を適用すると

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ $ 4- {x}^{2} $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- 1 }{ $ 4- {x}^{2} $ }^{\prime } }$

(基本となる関数の導関数を参照)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ $ 4- {x}^{2} $ }^{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\cdot $ - 2x $ }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2} 2x \hspace{2}}{\hspace{2} 3\sqrt[3]{{ $ 4- {x}^{2} $ }^{2}} \hspace{2}} }$

●別解

$3$\displaystyle{ y=\sqrt[3]{ 4- {x}^{2} } }$

を

$3$\displaystyle{ y=\sqrt[3]{u} }$ ， $3$\displaystyle{ u=4- {x}^{2} }$

とおく

$3$\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\left({\sqrt[3]{u}}\right)=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}${u}^{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{u}^{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}}}$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\left({ 4- {x}^{2} }\right)=- 2x }$

よって

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{u}^{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\cdot $ - 2x $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ $ 4- {x}^{2} $ }^{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\cdot $ - 2x $ }$

（ $3$\displaystyle{ u=4- {x}^{2} }$ と置き換えていたのを元に戻す）

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 2x \hspace{2}}{\hspace{2} 3\sqrt[3]{ { $ 4- {x}^{2} $ }^{2} } \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年4月16日