微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$3$\displaystyle{y=\log \| \frac{\hspace{2} 1- 2x \hspace{2}}{\hspace{2} 1+2x \hspace{2}} \| }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }= - \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} $ 1+2x $ $ 1- 2x $ \hspace{2}} }$

（あるいは　 $3$\displaystyle{{y}^{\prime }=- 2 $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- 2x \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+2x \hspace{2}} $ }$ ）

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く．

■解説

$3$\displaystyle{y=\log \| \frac{\hspace{2} 1- 2x \hspace{2}}{\hspace{2} 1+2x \hspace{2}} \| }$ を

$3$\displaystyle{ y=\log u }$ ， $3$\displaystyle{u=\frac{\hspace{2} 1- 2x \hspace{2}}{\hspace{2} 1+2x \hspace{2}}}$

と置き，合成関数の導関数の公式を用いる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} { \left({ 1- 2x }\right) }^{\prime }\left({ 1+2x }\right)- \left({ 1- 2x }\right){ \left({ 1+2x }\right) }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 1+2x }\right) }^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - 2 $ 1+2x $ - 2 $ 1- 2x $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ 1+2x $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} { $ 1+2x $ }^{2} \hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}\left({ - \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}{ $ 1+ 2x $ }^{2}\hspace{2}} }\right) }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} 1- 2x \hspace{2}}{\hspace{2} 1+2x \hspace{2}} \hspace{2}}\cdot $ - \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} { \( 1+2x $ }^{2} \hspace{2}} \) }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 4 $ 1+2x $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ 1+2x $ }^{2} $ 1- 2x $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} $ 1+2x $ $ 1- 2x $ \hspace{2}}}$

●別解

対数の性質を使って式を変形してから微分する．

$3$\displaystyle{y=\log \| \frac{\hspace{2} 1- 2x \hspace{2}}{\hspace{2} 1+2x \hspace{2}} \| }$

$3$\displaystyle{=\log \frac{\hspace{2} \| 1- 2x \| \hspace{2}}{\hspace{2} \| 1+2x \| \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\log \| 1- 2x \| - \log \| 1+2x \| }$

対数のこの性質を用いる．

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- 2x \hspace{2}}{ \left({ 1- 2x }\right) }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+2x \hspace{2}}{ \left({ 1+2x }\right) }^{\prime } }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- 2x \hspace{2}}\cdot $ - 2 $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+2x \hspace{2}}\cdot 2}$

$3$\displaystyle{=- 2 $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- 2x \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+2x \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{ =- 2\cdot \frac{\hspace{2} \left({ 1+ 2x }\right)+ \left({ 1- 2x }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- 2x }\right) \left({ 1+ 2x }\right) \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =- 2\cdot \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- 2x }\right) \left({ 1+ 2x }\right) \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- 2x }\right) \left({ 1+ 2x }\right) \hspace{2}} }$

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最終更新日： 2025年6月2日