微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2} {e}^{x}- {e}^{ - x } \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{x}+{e}^{ - x } \hspace{2}} }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} { $ {e}^{x}+{e}^{ - x } $ }^{2} \hspace{2}}}$

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く．

■解説

$3$\displaystyle{y =\frac{\hspace{2} {e}^{x}- {e}^{ - x } \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{x}+{e}^{ - x } \hspace{2}} }$

分数の導関数の微分の公式を用いる

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{ $ {e}^{x}+ {e}^{ - x } $ }^{2}\hspace{2}} \left{{ {\left({ {e}^{x}- {e}^{ - x } }\right)}^{\prime }\left({ {e}^{x}+ {e}^{ - x } }\right) }$ $3$\displaystyle{ \left.{ - \left({ {e}^{x}- {e}^{ - x } }\right){\left({ {e}^{x}+ {e}^{ - x } }\right)}^{\prime } }\right\} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{ $ {e}^{x}+ {e}^{ - x } $ }^{2}\hspace{2}}\left[{ \left{{ {\left({{e}^{x}}\right)}^{\prime }- {\left({{e}^{ - x }}\right)}^{\prime } }\right}\left({ {e}^{x}+ {e}^{ - x } }\right) }$ $3$\displaystyle{ \left.{ - \left({ {e}^{x}- {e}^{ - x } }\right)\left{{ {\left({{e}^{x}}\right)}^{\prime }+{\left({{e}^{ - x }}\right)}^{\prime } }\right} }\right\] }$

( $3$\displaystyle{{ $ {e}^{x} $ }^{\prime }}$ ⇒ここを見る， $3$\displaystyle{{ $ {e}^{ - x } $ }^{\prime }}$ ⇒ここを見る)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { $ {e}^{x}+{e}^{ - x } $ }^{2}- { $ {e}^{x}- {e}^{ - x } $ }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {e}^{x}+{e}^{ - x } $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} $ {e}^{ 2x }+2+{e}^{ - 2x } $ - $ {e}^{ 2x }- 2+{e}^{ - 2x } $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {e}^{x}+{e}^{ - x } $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} { $ {e}^{x}+{e}^{ - x } $ }^{2} \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年5月20日