微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$3$\displaystyle{y=\log $ \sin 3x $ }$

■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime \hspace{5}\hspace{5}} =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} \tan 3x \hspace{2}} }$

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く．

■解説

$3$\displaystyle{y=\log $ \sin 3x $ }$

$3$\displaystyle{\log x}$ の微分の公式を用いる．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sin 3x \hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{ $ \sin 3x $ }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sin 3x \hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }3\cos 3x}$

( $3$\displaystyle{ \sin 3x }$ の微分はここを参照．)

$3$\displaystyle{=3\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} \cos 3x \hspace{2}}{\hspace{2} \sin 3x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} \tan 3x \hspace{2}} }$

(三角関数の相互関係を用いる．)

合成関数の導関数において， $3$\displaystyle{y=f $u$ =\log u}$ ， $3$\displaystyle{u=g $x$ =\sin 3x}$ と考えている．

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最終更新日： 2023年10月7日