微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y=\log $ x+\sqrt{ {x}^{2}+4 } $ }$

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■答

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+4 } \hspace{2}} }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ \log x }$ の微分と合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

$3$\displaystyle{ u=x+\sqrt{ {x}^{2}+4 } }$ とおくと $3$\displaystyle{ y=\log u }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\log u=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\left({ x+\sqrt{ {x}^{2}+4 } }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}x+\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\sqrt{ {x}^{2}+4 }}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\sqrt{ {x}^{2}+4 }}$ の計算．合成関数の微分を適用

$3$\displaystyle{z=\sqrt{ {x}^{2}+4 }}$ ， $3$\displaystyle{t={x}^{2}+4}$ とおく．

$3$\displaystyle{z=\sqrt{t}={t}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ 式変形はここを参照

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{t}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{t} \hspace{2}}}$ べき関数の微分を参照

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=2x}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{t} \hspace{2}}\cdot 2x}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+4 } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}} $ 1+\frac{\hspace{2} x \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+4 } \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+\sqrt{ {x}^{2}+4 } \hspace{2}} $ 1+\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+4 } \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+\sqrt{ {x}^{2}+4 } \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+4 }+x \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+4 } \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+4 } \hspace{2}} }$

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最終更新日： 2025年2月20日