微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y=\log \left({ \tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }$

■答

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}} }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ \log x }$ の微分と $3$\displaystyle{ \tan x }$ の微分の公式を利用して解く．

■解説

$3$\displaystyle{ u=\tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ とおくと $3$\displaystyle{ y=\log u }$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{ \cos }^{2}\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{ \cos }^{2}\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}} }$

ここで $3$\displaystyle{ \tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \sin \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}} }$ を代入する

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} \sin \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{ \cos }^{2}\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \sin \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{ \cos }^{2}\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sin \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}} }$

ここで 2倍角の公式を使う

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}} }$

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分に関する演習問題>>微分の計算問題>>この問題

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日