媒介変数表示における導関数

■問題

媒介変数(パラメータ)表示された関数 $3$\displaystyle{x=\sqrt{ t- 1 }- 2}$ ， $3$\displaystyle{y={t}^{3}- 5}$ について導関数 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ を $3$t$ の式で表し，点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({ - 1,3 }\right)}$ における接線方程式を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=6{t}^{2}\sqrt{ t- 1 }}$

接線の方程式： $3$\displaystyle{y=24x+27}$

■解説

媒介変数表示における導関数り

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} \hspace{2}}}$ ･･････(1)

の式を用いる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\left({ t- 1 }\right)}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{ t- 1 } \hspace{2}}}$ ･･････(2)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=3{t}^{2}}$ ･･････(3)

$3$\displaystyle{ f\prime $x$=0 }$ とすると， $3$\displaystyle{ x=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\text{\hspace{5}},2 }$

(1)に(2)，(3)を代入する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 3{t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{ t- 1 } \hspace{2}} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=6{t}^{2}\sqrt{ t- 1 }}$ ･･････(4)