陰関数の微分に関する問題

■問題

陰関数の微分法を用いて曲線 $3$\displaystyle{ 4{x}^{2}+9{y}^{2}- 36y=0 }$ の $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ を求め，曲線上の点 $3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2} 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},1 }\right)}$ における接線方程式を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=6{t}^{2}\sqrt{ t- 1 }}$

接線の方程式： $3$\displaystyle{y=24x+27}$

■解説

陰関数の微分法より

$3$\displaystyle{ 4{x}^{2}+9{y}^{2}- 36y=0 }$ ･･････(1)

の両辺を $3$x$ で微分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\left({ 4{x}^{2}+9{y}^{2}- 39y }\right)=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}0}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}4{x}^{2}+\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}9{y}^{2}- \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}36y=0}$

$3$\displaystyle{8x+18y\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}- 36\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=0}$

備考：合成関数の微分法より， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}9{y}^{2}=\left({ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}9{y}^{2} }\right)\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=18y\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{18\left({ y- 2 }\right)\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- 8x}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} 4x \hspace{2}}{\hspace{2} 9\left({ y- 2 }\right) \hspace{2}}}$ ･･････(2)

よって，点 $3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2} 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},1 }\right)}$ における接線の傾きは

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} 4\cdot \frac{\hspace{2} 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 9\left({ 1- 2 }\right) \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 2\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ ･･････(3)

となる．したがって，接線の方程式は

$3$\displaystyle{y- 1=\frac{\hspace{2} 2\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ x- \frac{\hspace{2} 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} 2\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x- 2}$ ･･････(4)

となる．

■備考

(1)を以下のように式変形をする．

$3$\displaystyle{4{x}^{2}+9\left({ {y}^{2}- 4y }\right)=0}$

$3$\displaystyle{4{x}^{2}+9\left({ {y}^{2}- 4y+4- 4 }\right)=0}$

$3$\displaystyle{4{x}^{2}+9\left({ {y}^{2}- 4y+4 }\right)=36}$

$3$\displaystyle{4{x}^{2}+9{\left({ y- 2 }\right)}^{2}=36}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {3}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} { \left({ y- 2 }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{2} \hspace{2}}=1}$ ･･････(5)

(5)は楕円の方程式になる．(5)をさらに，以下のように式変形をする．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} { \left({ y- 2 }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{2} \hspace{2}}=1- \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {3}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\left({ y- 2 }\right)}^{2}=4\left({ 1- \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {3}^{2} \hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{{\left({ y- 2 }\right)}^{2}=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}\left({ 9- {x}^{2} }\right)}$

$3$\displaystyle{y- 2=\pm \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\sqrt{ 9- {x}^{2} }}$

$3$\displaystyle{y=\pm \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\sqrt{ 9- {x}^{2} }+2}$ ･･････(6)

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2} 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ を(6)に代入する．

$3$\displaystyle{y=\pm \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\sqrt{ 9- { \left({ \frac{\hspace{2} 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }^{2} }+2}$ $3$\displaystyle{=\pm \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\sqrt{ 9- \frac{\hspace{2} 27 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }+2}$ $3$\displaystyle{=\pm \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\sqrt{ \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }+2}$ $3$\displaystyle{=\pm 1+2}$ $3$\displaystyle{=3,1}$ ･･････(7)

(7)より，点 $3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2} 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},1 }\right)}$ は，関数

$3$\displaystyle{y=- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\sqrt{ 9- {x}^{2} }+2}$ ･･････(8)

のグラフ上の点である．(8)を $3$x$ で微分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 9- {x}^{2} } \hspace{2}}\cdot \left({ - 2x }\right)}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} - 2x \hspace{2}}{\hspace{2} 3\sqrt{ 9- {x}^{2} } \hspace{2}}}$ ･･････(9)

よって，点 $3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2} 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},1 }\right)}$ における接線の傾きは，(9)より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 2\cdot \frac{\hspace{2} 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 3\sqrt{ 9- { \left({ \frac{\hspace{2} 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }^{2} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2} 3\sqrt{ 9- \frac{\hspace{2} 27 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

となる．

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最終更新日： 2025年4月30日