第2次導関数まで増減表に関する問題

■問題

関数 $3$\displaystyle{ f\left({x}\right)={x}^{3}- 3x }$ の第2次導関数までの増減表を作成し，極値と変曲点を求めよ．

■答

関数

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)={x}^{3}- 3x }$ 　･･････(1)

の導関数を求める．

$3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({x}\right)=3{x}^{2}- 3}$ 　･･････(2)

第2次導関数を求める．

$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime }\left({x}\right)=6x}$ 　･･････(3)

$3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({x}\right)=0}$ となる $3$x$ の値を求める.

$3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({x}\right)=3{x}^{2}- 3=0}$

$3$\displaystyle{3\left({ {x}^{2}- 1 }\right)=0}$

$3$\displaystyle{3\left({ x+1 }\right)\left({ x- 1 }\right)=0}$

よって

$3$\displaystyle{x=- 1,1}$

となる．

$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime }\left({x}\right)=0}$ となる $3$x$ の値を求める．

$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime }\left({x}\right)=6x=0}$

よって

$3$\displaystyle{x=0}$

となる．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow - \infty }f\left({x}\right)={ \lim }\limits_{ x\rightarrow - \infty }\left({ {x}^{3}- 3x }\right)}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow - \infty }x\left({ {x}^{2}- 3 }\right)}$ $3$\displaystyle{=- \infty}$

$3$\displaystyle{f\left({ - 1 }\right)={\left({ - 1 }\right)}^{3}- 3\left({ - 1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=- 1+3}$ $3$\displaystyle{=2}$

$3$\displaystyle{f\left({0}\right)={\left({0}\right)}^{3}- 3\left({0}\right)}$ $3$\displaystyle{=0+0}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{f\left({1}\right)={1}^{3}- 3\cdot 1}$ $3$\displaystyle{=1- 3}$ $3$\displaystyle{=- 2}$

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }f\left({x}\right)={ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\left({ {x}^{3}- 3x }\right)}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }x\left({ {x}^{2}- 3 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\infty}$

以上より，増減表を作成する．

$3$x$	$3$- \infty$	$3$\cdots$	$3$- 1$	$3$\cdots$	$3$0$	$3$\cdots$	$3$1$	$3$\cdots$	$3$\infty$
$3${f}^{\prime }\left({x}\right)$	$3$+$	$3$+$	$3$0$	$3$-$	$3$-$	$3$-$	$3$0$	$3$+$	$3$+$
$3${f}^{\prime\prime }\left({x}\right)$	$3$-$	$3$-$	$3$-$	$3$-$	$3$0$	$3$+$	$3$+$	$3$+$	$3$+$
$3$f\left({x}\right)$	$3$- \infty$		$3$2$		$3$0$		$3$- 2$		$3$\infty$