第2次導関数まで増減表に関する問題

■問題

関数 $3$\displaystyle{f\left({x}\right)={e}^{ - {x}^{2} }}$ の第2次導関数までの増減表を作成し，極値と変曲点を求めよ．

■答

関数

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)={e}^{ - {x}^{2} }}$ 　･･････(1)

の導関数を求める．

$3$\displaystyle{f{\left({x}\right)}^{\prime }={e}^{ - {x}^{2} }{\left({ - {x}^{2} }\right)}^{\prime }=- 2x{e}^{ - {x}^{2} }}$ 　･･････(2)

第2次導関数を求める．

$3$\displaystyle{ f{ \left({x}\right) }^{ \prime\prime }={ \left({ - 2x }\right) }^{\prime }{e}^{ - {x}^{2} }- 2x{ \left({ {e}^{ - {x}^{2} } }\right) }^{\prime } }$

$3$\displaystyle{=- 2{e}^{ - {x}^{2} }- 2x\left({ - 2x{e}^{ - {x}^{2} } }\right)}$

$3$\displaystyle{=- 2{e}^{ - {x}^{2} }+4{x}^{2}{e}^{ - {x}^{2} }}$

$3$\displaystyle{=2{e}^{ - {x}^{2} }\left({ 2{x}^{2}- 1 }\right)}$ 　･･････(3)

$3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({x}\right)=0}$ となる $3$x$ の値を求める.

$3$\displaystyle{f{\left({x}\right)}^{\prime }=- 2x{e}^{ - {x}^{2} }=0}$

$3$\displaystyle{{e}^{ - {x}^{2} }> 0}$

よって

$3$\displaystyle{x=０}$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。

となる．

$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime }\left({x}\right)=0}$ となる $3$x$ の値を求める．

$3$\displaystyle{f{\left({x}\right)}^{ \prime \text{}\prime }=2{e}^{ - {x}^{2} }\left({ 2{x}^{2}- 1 }\right)=0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{{e}^{ - {x}^{2} }> 0}$

よって

$3$\displaystyle{2{x}^{2}- 1=0}$ ， $3$\displaystyle{x=\pm \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$

となる．

$3$\displaystyle{f\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }\right)={e}^{ - { \left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{={e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{e} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{f\left({0}\right)={e}^{ - {0}^{2} }={e}^{0}=1}$

$3$\displaystyle{f\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }\right)={e}^{ - { \left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{={e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{e} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow \pm \infty }f\left({x}\right)={ \lim }\limits_{ x\rightarrow \pm \infty }{e}^{ - {x}^{2} }}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow \pm \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ {x}^{2} } \hspace{2}}=0}$

以上より，増減表を作成する．

$3$x$	$3$- \infty$	$3$\cdots$	$3$- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}$	$3$\cdots$	$3$0$	$3$\cdots$	$3$\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}$	$3$\cdots$	$3$\infty$
$3${f}^{\prime }\left({x}\right)$	$3$+$	$3$+$	$3$+$	$3$+$	$3$0$	$3$-$	$3$-$	$3$-$	$3$-$
$3${f}^{\prime\prime }\left({x}\right)$	$3$+$	$3$+$	$3$0$	$3$-$	$3$0$	$3$-$	$3$0$	$3$+$	$3$+$
$3$f\left({x}\right)$	$3$0$		$3$ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{e} \hspace{2}}$		$3$1$		$3$ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{e} \hspace{2}}$		$3$0$

増減表より

$3$x=0$ のとき極大値 $3$1$ ，変曲点 $3$\displaystyle{\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{e} \hspace{2}} }\right)}$ と $3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{e} \hspace{2}} }\right)}$

となる．

●参考

増減表と対比できるように $3$f\left({x}\right)$ ， $3${f}^{\prime }\left({x}\right)$ ， $3${f}^{\prime\prime }\left({x}\right)$ のグラフを示す．

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最終更新日： 2025年4月27日