複素数の計算

■問題

次の複素数の計算をせよ．

$3$\displaystyle{{ $ 1+\sqrt{3}\text{\hspace{1} }i $ }^{7}}$

■答

$3$\displaystyle{ 64\left({ 1+\sqrt{3}\text{\hspace{1}}i }\right) }$

■解説

$3$\displaystyle{{\left({ 1+\sqrt{3}i }\right)}^{7}}$ $3$\displaystyle{={\left{{ { \left({ 1+\sqrt{3}i }\right) }^{2} }\right}}^{2}{\left({ 1+\sqrt{3}i }\right)}^{3}}$

$3$\displaystyle{={\left({ 1+2\sqrt{3}i+3{i}^{2} }\right)}^{2}\left({ 1+3\sqrt{3}i+3\cdot 3{i}^{2}+3\sqrt{3}{i}^{3} }\right)}$

(3乗の公式を参照)

$3$\displaystyle{={\left({ 1+2\sqrt{3}i- 3 }\right)}^{2}\left({ 1+3\sqrt{3}i- 9- 3\sqrt{3}i }\right)}$

$3$\displaystyle{={\left({ - 2+2\sqrt{3}i }\right)}^{2}\left({ - 8 }\right)}$

$3$\displaystyle{={\left{{ - 2\left({ 1- 2\sqrt{3}i }\right) }\right}}^{2}\left({ - 8 }\right)}$

$3$\displaystyle{=4\left({ - 8 }\right){\left({ 1- \sqrt{3}i }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{=- 32\left({ 1- 2\sqrt{3}i+3{i}^{2} }\right)}$

$3$\displaystyle{=- 32\left({ 1- 2\sqrt{3}i- 3 }\right)}$

$3$\displaystyle{=- 32\left({ - 2- 2\sqrt{3}i }\right)}$

$3$\displaystyle{=64\left({ 1+\sqrt{3}i }\right)}$

■別解

$3$\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i }$ の極形式はこの問題より

$3$\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i }$ $3$\displaystyle{= 2 $ \cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+i\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }$

となる．

ド・モアブルの定理を用いると

$3$\displaystyle{{ $ 1+\sqrt{3}\text{\hspace{1} }i $ }^{7}}$ $3$\displaystyle{= { \left{{ 2\left({ \cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+i\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right) }\right} }^{7} }$

$3$\displaystyle{ ={2}^{7}\left({ \cos \frac{\hspace{2} 7{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+i\sin \frac{\hspace{2} 7{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right) }$

$3$\displaystyle{ =128\left{{ \cos \left({ 2{\pi}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)+i\sin \left({ 2{\pi}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right) }\right} }$

$3$\displaystyle{ =128\left({ \cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+i\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right) }$

$3$\displaystyle{ =128\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i }\right) }$

$3$\displaystyle{ =64\left({ 1+\sqrt{3}\text{\hspace{1}}i }\right) }$

ホーム>>カテゴリー分類>>複素数>>複素数に関する問題>>複素数の計算

最終更新日： 2023年2月25日