基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}3&2& - 2 &1& \vspace{6}\\ 1& - 1 &2&1& \vspace{6}\\ 2&6& - 4 &2& \vspace{6}\\ 1&2&1&2& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

■答

$3$\displaystyle{8}$

■計算

行列式の計算手順1を参考に行列式の次数を下げていく。

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}3&2& - 2 &1& \vspace{6}\\ 1& - 1 &2&1& \vspace{6}\\ 2&6& - 4 &2& \vspace{6}\\ 1&2&1&2& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}1& - 1 &2&1& \vspace{6}\\ 3&2& - 2 &1& \vspace{6}\\ 2&6& - 4 &2& \vspace{6}\\ 1&2&1&2& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-3)，3行+1行×(-2)，4行+1行×(-1)の計算をする．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}1& - 1 &2&1& \vspace{6}\\ 0&5& - 8 & - 2 & \vspace{6}\\ 0&8& - 8 &0& \vspace{6}\\ 0&3& - 1 &1& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}5& - 8 & - 2 & \vspace{6}\\ 8& - 8 &0& \vspace{6}\\ 3& - 1 &1& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の交代性を用いて1行目と3行目を入れ替える．符号が変わる．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}3& - 1 &1& \vspace{6}\\ 8& - 8 &0& \vspace{6}\\ 5& - 8 & - 2 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の交代性を用いて1列目と3列目を入れ替える．符号が変わる．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}1& - 1 &3& \vspace{6}\\ 0& - 8 &8& \vspace{6}\\ - 2 & - 8 &5& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の計算則を用いて3行＋1行×2の計算をする．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}1& - 1 &3& \vspace{6}\\ 0& - 8 &8& \vspace{6}\\ 0& - 10 & 11 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array} - 8 &8& \vspace{6}\\ - 10 & 11 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

1行目の成分がともに-8の倍数であうので，定数倍の性質を用いて-8をくくりだす．

$3$\displaystyle{=- $ - 8 $ \times \| \begin{array}1&- 1& \vspace{6}\\ - 10 & 11 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{=8\times $ 11- 10 $ }$

$3$\displaystyle{=8}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日