基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，因数分解された形で答えを示せ．

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} x- 1 &1&x& \vspace{6}\\ 1& x- 1 &x& \vspace{6}\\ 1&1& x- 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

■答

$3$\displaystyle{x $ x- 2 $ $ x- 3 $ }$

■計算

行列式の計算手順1を参照

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} x- 1 &1&x& \vspace{6}\\ 1& x- 1 &x& \vspace{6}\\ 1&1& x- 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

1行1列目を1とするために，行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．このときに符号が代わることに注意する．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}1& x- 1 &x& \vspace{6}\\ x- 1 &1&x& \vspace{6}\\ 1&1& x- 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の計算則を用いて2行+1行× $3$\displaystyle{ \left{{ - \left({ x- 1 }\right) }\right} }$ ，3行+1行×(-1)の計算をする．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}1& x- 1 &x& \vspace{6}\\ 0& 1- { $ x- 1 $ }^{2} & x- x $ x+1 $ & \vspace{6}\\ 0& - x+2 & - 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用いて計算式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array} - {x}^{2}+2x & - {x}^{2}+2x & \vspace{6}\\ - x+2 & - 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{=- \left|{ \begin{array} - x\left({ x+2 }\right) & - x\left({ x+2 }\right) & \vspace{6}\\ - x+2 & - 1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

1行目の成分はともに $3$\displaystyle{ - x\left({ x+2 }\right) }$ なので，定数倍の性質を用いてくくりだす．

$3$\displaystyle{=x $ x+2 $ \| \begin{array}1&1& \vspace{6}\\ - x+2 & - 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{=x $ x+2 $ $ - 1+x- 2 $ }$

$3$\displaystyle{=x $ x- 2 $ $ x- 3 $ }$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日