基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，因数分解された形で答えを示せ．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array} x- 1 &1&1&1& \vspace{6}\\ 1& x- 1 &1&1& \vspace{6}\\ 1&1& x- 1 &1& \vspace{6}\\ 1&1&1& x- 1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

■答

$3$\displaystyle{{\left({ x- 2 }\right)}^{3}\left({ x+2 }\right)}$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array} x- 1 &1&1&1& \vspace{6}\\ 1& x- 1 &1&1& \vspace{6}\\ 1&1& x- 1 &1& \vspace{6}\\ 1&1&1& x- 1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行目を1とするために，行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意する．

$3$\displaystyle{ =- \left({\begin{array}1& x- 1 &1&1& \vspace{6}\\ x- 1 &1&1&1& \vspace{6}\\ 1&1& x- 1 &1& \vspace{6}\\ 1&1&1& x- 1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行× $3$\displaystyle{ \left{{ - \left({ x- 1 }\right) }\right} }$ ，3行+1行×(-1)，4行+1行×(-1)の計算をする．

$3$\displaystyle{ =- \left|{ \begin{array}1& x- 1 &1&1& \vspace{6}\\ 0& 1- { \left({ x- 1 }\right) }^{2} & - x+2 & - x+2 & \vspace{6}\\ 0& - x+2 & x- 2 &0& \vspace{6}\\ 0& - x+2 &0& x- 2 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =- \left|{ \begin{array} - x\left({ x- 2 }\right) & - x+2 & - x+2 & \vspace{6}\\ - x+2 & x- 2 &0& \vspace{6}\\ - x+2 &0& x- 2 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

1行目の成分，2行目の成分，3行目の成分がいずれも $3$\displaystyle{ - x+2 }$ の倍数になっているので，定数倍の性質を用いて各行から $3$\displaystyle{ - x+2 }$ をくくりだす．

$3$\displaystyle{ ={ \left({ - x+2 }\right) }^{3}\left|{ \begin{array}x&1&1& \vspace{6}\\ 1& - 1 &0& \vspace{6}\\ 1&0& - 1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

1行目を1とするために，行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．このとき符号が変わることに注意する．

$3$\displaystyle{=- {\left({ - x+2 }\right)}^{3}\left|{ \begin{array}1& - 1 &0& \vspace{6}\\ x&1&1& \vspace{6}\\ - 1 &0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行× $3$\displaystyle{\left({ - x }\right)}$ ，3行+1行の計算をする．

$3$\displaystyle{=- {\left({ - x+2 }\right)}^{3}\left|{ \begin{array}1& - 1 &0& \vspace{6}\\ x& x+1 &1& \vspace{6}\\ 0& - 1 &1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{=- {\left({ - x+2 }\right)}^{3}\left|{ \begin{array} x+1 &1& \vspace{6}\\ - 1 &1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

$3$\displaystyle{=- {\left({ - x+2 }\right)}^{3}\left({ x+1+1 }\right)}$

$3$\displaystyle{={\left({ x- 2 }\right)}^{3}\left({ x+2 }\right)}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月10日