基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1&1&1& x+1 & \vspace{6}\\ 1&1& x- 1 &x& \vspace{6}\\ 1& x+1 &1&x& \vspace{6}\\ x- 1 &1&1&x& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

■答

$3$\displaystyle{ \left({ x- 2 }\right)\left({ {x}^{3}- {x}^{2}+x- 2 }\right) }$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1&1&1& x+1 & \vspace{6}\\ 1&1& x- 1 &x& \vspace{6}\\ 1& x+1 &1&x& \vspace{6}\\ x- 1 &1&1&x& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて　2行+1行×(-1)，3行+1行×(-1)，4行+1行× $3$\displaystyle{ \left{{ - \left({ x- 1 }\right) }\right} }$ の計算をする．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}1&1&1& x+1 & \vspace{6}\\ 0&0& x- 2 & - 1 & \vspace{6}\\ 0&x&0& - 1 & \vspace{6}\\ 0& - x+2 & - x+2 & - {x}^{2}+x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}0& x- 2 & - 1 & \vspace{6}\\ x&0& - 1 & \vspace{6}\\ - x+2 & - x+2 & - {x}^{2}+x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

2列目の成分は $3$\displaystyle{ x- 2 }$ の倍数なので，定数倍の性質を用いて $3$\displaystyle{ x- 2 }$ をくくりだす．

$3$\displaystyle{= $ x- 2 $ \| \begin{array}0&1& - 1 & \vspace{6}\\ x&0& - 1 & \vspace{6}\\ - x+2 & - 1 & - {x}^{2}+x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

1行1列目を1にするために，行列式の交代制を用いて1列目と2列目を入れ替える．このとき符号が変わることに注意すること．

$3$\displaystyle{=- $ x- 2 $ \| \begin{array}1&0& - 1 & \vspace{6}\\ 0&x& - 1 & \vspace{6}\\ - 1 & - x+2 & - {x}^{2}+x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の計算則を用いて3行+1行の計算をする．

$3$\displaystyle{=- $ x- 2 $ \| \begin{array}1&0& - 1 & \vspace{6}\\ 0&x& - 1 & \vspace{6}\\ 0& - x+2 & - {x}^{2}+x & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{=- $ x- 2 $ \| \begin{array}x& - 1 & \vspace{6}\\ - x+2 & - {x}^{2}+x & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{=- $ x- 2 $ $ - {x}^{3}+{x}^{2}- x+2 $ }$

$3$\displaystyle{ =\left({ x- 2 }\right)\left({ {x}^{3}- {x}^{2}+x- 2 }\right) }$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日