基本的な行列の問題

■問題

次の連立1次方程式をクラメルの公式を用いて解け．

$3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} x+2y- 3z=3 & \vspace{6}\\ - 2x- 4y+z=4 & \vspace{6}\\ 2x+y+z=4 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

■答

$3$\displaystyle{ x=5 }$ ， $3$\displaystyle{ y=- 4 }$ ， $3$\displaystyle{ z=- 2 }$

■計算

$3$\displaystyle{ \|A\| }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1&2& - 3 & \vspace{6}\\ - 2 & - 4 &1& \vspace{6}\\ 2&1&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行＋1行×2，3行+1行×(-2)の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1&2& - 3 & \vspace{6}\\ 0&0& - 5 & \vspace{6}\\ 0& - 3 &7& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げ，計算する．

$3$\displaystyle{ =- 15 }$

次に $3$\displaystyle{x}$ ， $3$\displaystyle{y}$ ， $3$\displaystyle{z}$ を求める．

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}15\hspace{2}}\left({\begin{array}3&2& - 3 & \vspace{6}\\ 4& - 4 &1& \vspace{6}\\ 4&1&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1列で余因子展開する．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}15\hspace{2}}\left{{ 3\left({ - 4- 1 }\right)- 4\left({ 2+3 }\right)+4\left({ 2- 12 }\right) }\right} }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}15\hspace{2}}\left({ - 15- 20- 40 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =5 }$

$3$\displaystyle{y}$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}15\hspace{2}}\left({\begin{array}1&3& - 3 & \vspace{6}\\ - 2 &4&1& \vspace{6}\\ 2&4&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1列で余因子展開する．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}15\hspace{2}}\left{{ 4- 4+2\left({ 3+12 }\right)+2\left({ 3+12 }\right) }\right} }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}15\hspace{2}}\left({ 0+30+30 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 4 }$

$3$\displaystyle{z}$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}15\hspace{2}}\left({\begin{array}1&2&3& \vspace{6}\\ - 2 & - 4 &4& \vspace{6}\\ 2&1&4& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

2行目の成分が2の倍数になっているので，定数倍の性質を用いて2行目から2をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}15\hspace{2}}\left({\begin{array}1&2&3& \vspace{6}\\ - 1 & - 2 &2& \vspace{6}\\ 2&1&4& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}15\hspace{2}}\left{{ - 8- 2+8- 3+2\left({ 4+6 }\right) }\right} }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}15\hspace{2}}\left({ - 10+5+20 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 2 }$

■問題へ戻る

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>線形代数に関する問題>>行列式に関する問題>>問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日