基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array} x+1 &1&1&x& \vspace{6}\\ 1& x+1 &1&x& \vspace{6}\\ 1&1& x+1 &x& \vspace{6}\\ 1&1&1& x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

■答

$3$\displaystyle{{x}^{2} $ {x}^{2}+x+3 $ }$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array} x+1 &1&1&x& \vspace{6}\\ 1& x+1 &1&x& \vspace{6}\\ 1&1& x+1 &x& \vspace{6}\\ 1&1&1& x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と4行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}1&1&1& x+1 & \vspace{6}\\ 1& x+1 &1&x& \vspace{6}\\ 1&1& x+1 &x& \vspace{6}\\ x+1 &1&1&x& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1) ，3行+ 1行×(-1)，4行+1行× $3$\displaystyle{ \left{{ - \left({ x+1 }\right) }\right} }$ の計算をする．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}1&1&1& x+1 & \vspace{6}\\ 0&x&0& - 1 & \vspace{6}\\ 0&0&x& - 1 & \vspace{6}\\ 0& - x & - x & - {x}^{2}- x- 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}x&0& - 1 & \vspace{6}\\ 0&x& - 1 & \vspace{6}\\ - x & - x & - {x}^{2}- x- 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

1列目,2列目の成分が $3$\displaystyle{x}$ の倍数になっているので，定数倍の性質を用いて $3$\displaystyle{x}$ をくくりだす．

$3$\displaystyle{=- {x}^{2} \| \begin{array}1&0& - 1 & \vspace{6}\\ 0&1& - 1 & \vspace{6}\\ - 1 & - 1 & - {x}^{2}- x- 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の計算則を用いて3行+1行の計算をする．

$3$\displaystyle{=- {x}^{2} \| \begin{array}1&0& - 1 & \vspace{6}\\ 0&1& - 1 & \vspace{6}\\ 0& - 1 & - {x}^{2}- x- 2 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{=- {x}^{2} \| \begin{array}1& - 1 & \vspace{6}\\ - 1 & - {x}^{2}- x- 2 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

定数倍の性質を用いて2行目の成分から $3$\displaystyle{ - 1 }$ をくくりだす．

$3$\displaystyle{={x}^{2} \| \begin{array}1& - 1 & \vspace{6}\\ 1& {x}^{2}+x+2 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{={x}^{2} $ {x}^{2}+x+3 $ }$

■問題へ戻る

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>線形代数に関する問題>>行列式に関する問題>>問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日