基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array} x+1 & x- 4 & x+4 & x+1 & \vspace{6}\\ x+2 & x- 3 & x+2 & x+3 & \vspace{6}\\ x- 1 & x- 2 & x- 3 & x- 2 & \vspace{6}\\ x+4 & x- 1 & x- 1 & x- 4 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

■答

$3$\displaystyle{- 4 $ 32x- 85 $ }$

■計算

行列式の計算則を用いて1行+2行×(-1)の計算をする．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array} - 1 & - 1 &2& - 2 & \vspace{6}\\ x+2 & x- 3 & x+2 & x+3 & \vspace{6}\\ x- 1 & x- 2 & x- 3 & x- 2 & \vspace{6}\\ x+4 & x- 1 & x- 1 & x- 4 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

1行1列目の成分を1にするために，定数倍の性質を用いて1行目から−1をくくりだす．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}1&1& - 2 &2& \vspace{6}\\ x+2 & x- 3 & x+2 & x+3 & \vspace{6}\\ x- 1 & x- 2 & x- 3 & x- 2 & \vspace{6}\\ x+4 & x- 1 & x- 1 & x- 4 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の計算則を用いて2行+1行× $3$\displaystyle{ \left{{ - \left({ x+2 }\right) }\right} }$ ，3行+1行× $3$\displaystyle{ \left{{ - \left({ x- 1 }\right) }\right} }$ ，4行+1行× $3$\displaystyle{ \left{{ - \left({ x+4 }\right) }\right} }$ の計算をする．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}1&1& - 2 &2& \vspace{6}\\ 0& - 5 & 3x+6 & - x- 1 & \vspace{6}\\ 0& - 1 & 3x- 5 & - x & \vspace{6}\\ 0& - 5 & 3x+7 & - x- 12 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array} - 5 & 3x+6 & - x- 1 & \vspace{6}\\ - 1 & 3x- 5 & - x & \vspace{6}\\ - 5 & 3x+7 & - x- 12 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

1列目,3列目から定数倍の性質を用いて−1をくくりだす．−1が２回くくりだされるので符号は変わらない．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}5& 3x+6 & x+1 & \vspace{6}\\ 1& 3x- 5 &x& \vspace{6}\\ 5& 3x+7 & x+12 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

1行1列目を1にするために，行列式の交代性を用いて2行目と1行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}1& 3x- 5 &x& \vspace{6}\\ 5& 3x+6 & x+1 & \vspace{6}\\ 5& 3x+7 & x+12 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-5)，3行+1行×(-5)の計算をする．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}1& 3x- 5 &x& \vspace{6}\\ 0& - 12x+31 & - 4x+1 & \vspace{6}\\ 0& - 12x+32 & - 4x+12 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array} - 12x+31 & - 4x+1 & \vspace{6}\\ - 12x+32 & - 4x+12 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の計算則を用いて1行+2行×(-1)の計算をする．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array} - 1 & - 11 & \vspace{6}\\ - 12x+32 & - 4x+12 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

2行目の成分が−4の倍数になっているので，定数倍の性質を用いて−4をくくりだす．

$3$\displaystyle{=- 4 \| \begin{array} - 1 & - 11 & \vspace{6}\\ 3x- 8 & x- 3 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{ =- 4\left{{ - \left({ x- 3 }\right)+11\left({ 3x- 8 }\right) }\right} }$

$3$\displaystyle{=- 4 $ 32x- 85 $ }$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日