基本的な行列の問題

■問題

次の連立1次方程式をクラメルの公式を用いて解け．

$3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} a- 2b- c+2d=3 & \vspace{6}\\ - 2a+b+3c- 2d=0 & \vspace{6}\\ - a- b+2c+2d=1 & \vspace{6}\\ 3a+4b- c+d=- 2 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

■答

$3$\displaystyle{ a=3 }$ ， $3$\displaystyle{ b=- 2 }$ ， $3$\displaystyle{ c=2 }$ ， $3$\displaystyle{ d=- 1 }$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({A}\right) }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1& - 2 & - 1 &2& \vspace{6}\\ - 2 &1&3& - 2 & \vspace{6}\\ - 1 & - 1 &2&2& \vspace{6}\\ 3&4& - 1 &1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行，4行+1行×(-3)の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1& - 2 & - 1 &2& \vspace{6}\\ 0& - 3 &1&2& \vspace{6}\\ 0& - 3 &1&4& \vspace{6}\\ 0&10&2& - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array} - 3 &1&2& \vspace{6}\\ - 3 &1&4& \vspace{6}\\ 10&2& - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて3行+1行×3の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array} - 3 &1&2& \vspace{6}\\ - 3 &1&4& \vspace{6}\\ 1&5&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行1列目を1にするために，行列式の交代性を用いて3行目と1行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{ =- \left({\begin{array}1&5&1& \vspace{6}\\ - 3 &1&4& \vspace{6}\\ - 3 &1&2& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×3，3行+1行×3の計算をする．

$3$\displaystyle{ =- \left({\begin{array}1&5&1& \vspace{6}\\ 0&16&7& \vspace{6}\\ 0&16&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =- \left({\begin{array}16&7& \vspace{6}\\ 16&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1列目がともに16となっているので，定数倍の性質を用いて1列目から16をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =- 16\left({\begin{array}1&7& \vspace{6}\\ 1&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 16\left({ 5- 7 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =32 }$

$3$\displaystyle{ a }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}3& - 2 & - 1 &2& \vspace{6}\\ 0&1&3& - 2 & \vspace{6}\\ 1& - 1 &2&2& \vspace{6}\\ - 2 &4& - 1 &1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行1列目を1にするために，行列式の交代性を用いて3行目と1行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1& - 1 &2&2& \vspace{6}\\ 0&1&3& - 2 & \vspace{6}\\ 3& - 2 & - 1 &2& \vspace{6}\\ - 2 &4& - 1 &1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて3行+1行×(-3)，4行+1行×2の計算をする．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1& - 1 &2&2& \vspace{6}\\ 0&1&3& - 2 & \vspace{6}\\ 0&1& - 7 & - 4 & \vspace{6}\\ 0&2&3&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1&3& - 2 & \vspace{6}\\ 1& - 7 & - 4 & \vspace{6}\\ 2&3&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行-1行，3行+1行×(-2)の計算をする．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1&3& - 2 & \vspace{6}\\ 0& - 10 & - 2 & \vspace{6}\\ 0& - 3 &9& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array} - 10 & - 2 & \vspace{6}\\ - 3 &9& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行目が−2の倍数になっているので，定数倍の性質を用いて1行目より−2をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}16\hspace{2}}\left({\begin{array}5&1& \vspace{6}\\ - 3 &9& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}16\hspace{2}}\left({ 45+3 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =3 }$

$3$\displaystyle{ b }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1&3& - 1 &2& \vspace{6}\\ - 2 &0&3& - 2 & \vspace{6}\\ - 1 &1&2&2& \vspace{6}\\ 3& - 2 & - 1 &1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行，4行+1行×(-3)の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1&3& - 1 &2& \vspace{6}\\ 0&6&1&2& \vspace{6}\\ 0&4&1&4& \vspace{6}\\ 0& - 11 &2& - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}6&1&2& \vspace{6}\\ 4&1&4& \vspace{6}\\ - 11 &2& - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行1列目を1にするために，行列式の交代性を用いて2列目と1列目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1&6&2& \vspace{6}\\ 1&4&4& \vspace{6}\\ 2& - 11 & - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行-1行，3行-1行×2の計算をする．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1&6&2& \vspace{6}\\ 0& - 2 &2& \vspace{6}\\ 0& - 23 & - 9 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array} - 2 &2& \vspace{6}\\ - 23 & - 9 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行目が-2の倍数になっているので，定数倍の性質を用いて行列式を簡単にする．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}16\hspace{2}}\left({\begin{array}1& - 1 & \vspace{6}\\ - 23 & - 9 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}16\hspace{2}}\left({ - 9- 23 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 2 }$

$3$\displaystyle{ c }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1& - 2 &3&2& \vspace{6}\\ - 2 &1&0& - 2 & \vspace{6}\\ - 1 & - 1 &1&2& \vspace{6}\\ 3&4& - 2 &1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行，4行+1行×(-3)の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1& - 2 &3&2& \vspace{6}\\ 0& - 3 &6&2& \vspace{6}\\ 0& - 3 &4&4& \vspace{6}\\ 0&10& - 11 & - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array} - 3 &6&2& \vspace{6}\\ - 3 &4&4& \vspace{6}\\ 10& - 11 & - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて3行+1行×3の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array} - 3 &6&2& \vspace{6}\\ - 3 &4&4& \vspace{6}\\ 1&7&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行1列目を1にするために，行列式の交代性を用いて3行目と1行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1&7&1& \vspace{6}\\ - 3 &4&4& \vspace{6}\\ - 3 &6&2& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×3，3行+1行×3の計算をする．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1&7&1& \vspace{6}\\ 0&25&7& \vspace{6}\\ 0&27&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}25&7& \vspace{6}\\ 27&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({ 125- 189 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =2 }$

$3$\displaystyle{ d }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1& - 2 & - 1 &3& \vspace{6}\\ - 2 &1&3&0& \vspace{6}\\ - 1 & - 1 &2&1& \vspace{6}\\ 3&4& - 1 & - 2 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行，4行+1行×(-3)の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1& - 2 & - 1 &3& \vspace{6}\\ 0& - 3 &1&6& \vspace{6}\\ 0& - 3 &1&4& \vspace{6}\\ 0&10&2& - 11 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array} - 3 &1&6& \vspace{6}\\ - 3 &1&4& \vspace{6}\\ 10&2& - 11 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて3行+1行×3の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array} - 3 &1&6& \vspace{6}\\ - 3 &1&4& \vspace{6}\\ 1&5&7& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行1列目を1にするために，行列式の交代性を用いて3行目と1行目を入れ替える．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1&5&7& \vspace{6}\\ - 3 &1&4& \vspace{6}\\ - 3 &1&6& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×3，3行+1行×3の計算をする．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}1&5&7& \vspace{6}\\ 0&16&25& \vspace{6}\\ 0&16&27& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}32\hspace{2}}\left({\begin{array}16&25& \vspace{6}\\ 16&27& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1列目がともに16なので，定数倍の性質を用いて1列目から16をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({\begin{array}1&25& \vspace{6}\\ 1&27& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 27- 25 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 1 }$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年6月15日