基本的な行列の問題

■問題

次の連立1次方程式をクラメルの公式を用いて解け．

$3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} a+2b+2c- 3d=- 5 & \vspace{6}\\ - 2a+b- 2c+2d=- 2 & \vspace{6}\\ - a- b+3c- d=- 2 & \vspace{6}\\ - 2a- 2b+c+d=1 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

■答

$3$\displaystyle{ a=1 }$ ， $3$\displaystyle{ b=- 2 }$ ， $3$\displaystyle{ c=- 1 }$ ， $3$\displaystyle{ d=0 }$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({A}\right) }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1&2&2& - 3 & \vspace{6}\\ - 2 &1& - 2 &2& \vspace{6}\\ - 1 & - 1 &3& - 1 & \vspace{6}\\ - 2 & - 2 &1&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行，4行+1行×2の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1&2&2& - 3 & \vspace{6}\\ 0&5&2& - 4 & \vspace{6}\\ 0&1&5& - 4 & \vspace{6}\\ 0&2&5& - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}5&2& - 4 & \vspace{6}\\ 1&5& - 4 & \vspace{6}\\ 2&5& - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と2行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{ =- \left({\begin{array}1&5& - 4 & \vspace{6}\\ 5&2& - 4 & \vspace{6}\\ 2&5& - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

3列目の成分がすべて負の数字なので定数倍の性質を用いて3列目から−1をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1&5&4& \vspace{6}\\ 5&2&4& \vspace{6}\\ 2&5&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-5)，3行+1行×(-2)の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1&5&4& \vspace{6}\\ 0& - 23 & - 16 & \vspace{6}\\ 0& - 5 & - 3 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array} - 23 & - 16 & \vspace{6}\\ - 5 & - 3 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行目，2行目ともに負の数字なので，定数倍の性質を用いて行列式を簡単にする．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}23&16& \vspace{6}\\ 5&3& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =69- 80 }$

$3$\displaystyle{ =- 11 }$

$3$\displaystyle{ a }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array} - 5 &2&2& - 3 & \vspace{6}\\ - 2 &1& - 2 &2& \vspace{6}\\ - 2 & - 1 &3& - 1 & \vspace{6}\\ 1& - 2 &1&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と4行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1& - 2 &1&1& \vspace{6}\\ - 2 &1& - 2 &2& \vspace{6}\\ - 2 & - 1 &3& - 1 & \vspace{6}\\ - 5 &2&2& - 3 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行×2，4行+1行×5の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1& - 2 &1&1& \vspace{6}\\ 0& - 3 &0&4& \vspace{6}\\ 0& - 5 &5&1& \vspace{6}\\ 0& - 8 &7&2& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array} - 3 &0&4& \vspace{6}\\ - 5 &5&1& \vspace{6}\\ - 8 &7&2& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて3行+1行×(-3)の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array} - 3 &0&4& \vspace{6}\\ - 5 &5&1& \vspace{6}\\ 1&7& - 10 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と3行目を入れ替える．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1&7& - 10 & \vspace{6}\\ - 5 &5&1& \vspace{6}\\ - 3 &0&4& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+2行×5，3行+1行×3の計算をする．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1&7& - 10 & \vspace{6}\\ 0&40& - 49 & \vspace{6}\\ 0&21& - 26 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}40& - 49 & \vspace{6}\\ 21& - 26 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2列+1列の計算をする．

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 11 \hspace{2}}\left|{ \begin{array} 40 & - 9 & \vspace{6}\\ 21 & - 5 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 11 \hspace{2}}\left({ - 200+189 }\right)}$

$3$\displaystyle{ =1 }$

$3$\displaystyle{ b }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1& - 5 &2& - 3 & \vspace{6}\\ - 2 & - 2 & - 2 &2& \vspace{6}\\ - 1 & - 2 &3& - 1 & \vspace{6}\\ - 2 &1&1&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行，4行+1行×2の計算をする．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1& - 5 &2& - 3 & \vspace{6}\\ 0& - 12 &2& - 4 & \vspace{6}\\ 0& - 7 &5& - 4 & \vspace{6}\\ 0& - 9 &5& - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array} - 12 &2& - 4 & \vspace{6}\\ - 7 &5& - 4 & \vspace{6}\\ - 9 &5& - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1列目と3列目のようそがともに負の数字なので，定数倍の性質を用いて1列目と3列目から−1をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}12&2&4& \vspace{6}\\ 7&5&4& \vspace{6}\\ 9&5&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行目の成分が2の倍数なので，定数倍の性質を用いて1行目から2をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}6&1&2& \vspace{6}\\ 7&5&4& \vspace{6}\\ 9&5&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1)の計算をする．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}6&1&2& \vspace{6}\\ 1&4&2& \vspace{6}\\ 9&5&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と2行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1&4&2& \vspace{6}\\ 6&1&2& \vspace{6}\\ 9&5&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-6)，3行+1行×(-9)の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1&4&2& \vspace{6}\\ 0& - 23 & - 10 & \vspace{6}\\ 0& - 31 & - 13 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array} - 23 & - 10 & \vspace{6}\\ - 31 & - 13 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行目，2行目ともに成分が負の数字なので定数倍の性質を用いて1行目と2行目から−1をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}23&10& \vspace{6}\\ 31&13& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({ 299- 310 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 2 }$

$3$\displaystyle{ c }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1&2& - 5 & - 3 & \vspace{6}\\ - 2 &1& - 2 &2& \vspace{6}\\ - 1 & - 1 & - 2 & - 1 & \vspace{6}\\ - 2 & - 2 &1&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行，4行+1行×2の計算をする．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1&2& - 5 & - 3 & \vspace{6}\\ 0&5& - 12 & - 4 & \vspace{6}\\ 0&1& - 7 & - 4 & \vspace{6}\\ 0&2& - 9 & - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}5& - 12 & - 4 & \vspace{6}\\ 1& - 7 & - 4 & \vspace{6}\\ 2& - 9 & - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と2行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1& - 7 & - 4 & \vspace{6}\\ 5& - 12 & - 4 & \vspace{6}\\ 2& - 9 & - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

2列目と3列目の成分が負の数字なので，定数倍の性質を用いて行列式を簡単にする．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1&7&4& \vspace{6}\\ 5&12&4& \vspace{6}\\ 2&9&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-5)，3行+1行×(-2)の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1&7&4& \vspace{6}\\ 0& - 23 & - 16 & \vspace{6}\\ 0& - 5 & - 3 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array} - 23 & - 16 & \vspace{6}\\ - 5 & - 3 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行目，2行目の成分が負の数字なので，定数倍の性質を用いて1行目と2行目から−1をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}23&16& \vspace{6}\\ 5&3& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({ 69- 80 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 1 }$

$3$\displaystyle{ d }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1&2&2& - 5 & \vspace{6}\\ - 2 &1& - 2 & - 2 & \vspace{6}\\ - 1 & - 1 &3& - 2 & \vspace{6}\\ - 2 & - 2 &1&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×２，3行+1行，4行+1行×2の計算をする．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1&2&2& - 5 & \vspace{6}\\ 0&5&2& - 12 & \vspace{6}\\ 0&1&5& - 7 & \vspace{6}\\ 0&2&5& - 9 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}5&2& - 12 & \vspace{6}\\ 1&5& - 7 & \vspace{6}\\ 2&5& - 9 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と2行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1&5& - 7 & \vspace{6}\\ 5&2& - 12 & \vspace{6}\\ 2&5& - 9 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

3列目の成分が負の数字なので，定数倍の性質を用いて3行目から−1をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1&5&7& \vspace{6}\\ 5&2&12& \vspace{6}\\ 2&5&9& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-5)，3行+1行×(-2)の計算をする．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}1&5&7& \vspace{6}\\ 0& - 23 & - 23 & \vspace{6}\\ 0& - 5 & - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array} - 23 & - 23 & \vspace{6}\\ - 5 & - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行目，2行目の成分が負の数字なので，定数倍の性質を用いて1行目と2行目から−1をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}11\hspace{2}}\left({\begin{array}23&23& \vspace{6}\\ 5&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =0 }$

よって，答えは

$3$\displaystyle{ a=1 }$ ， $3$\displaystyle{ b=- 2 }$ ， $3$\displaystyle{ c=- 1 }$ ， $3$\displaystyle{ d=0 }$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月7日