基本的な行列の問題

■問題

次の行列の固有値を求めよ．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}2&7&7&7& \vspace{6}\\ 7&2&7&7& \vspace{6}\\ 7&7&2&7& \vspace{6}\\ 7&7&7&2& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({ A- {\lambda}E }\right) }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array} 2- {\lambda} &7&7&7& \vspace{6}\\ 7& 2- {\lambda} &7&7& \vspace{6}\\ 7&7& 2- {\lambda} &7& \vspace{6}\\ 7&7&7& 2- {\lambda} & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて1行+2行，1行+3行，1行+4行の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array} 23- {\lambda} & 23- {\lambda} & 23- {\lambda} & 23- {\lambda} & \vspace{6}\\ 7& 2- {\lambda} &7&7& \vspace{6}\\ 7&7& 2- {\lambda} &7& \vspace{6}\\ 7&7&7& 2- {\lambda} & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行目の成分はすべて $3$\displaystyle{ 23- {\lambda} }$ であるから，定数倍の性質を用いて $3$\displaystyle{ 23- {\lambda} }$ をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =\left({ 23- {\lambda} }\right)\left({\begin{array}1&1&1&1& \vspace{6}\\ 7& 2- {\lambda} &7&7& \vspace{6}\\ 7&7& 2- {\lambda} &7& \vspace{6}\\ 7&7&7& 2- {\lambda} & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-7)，3行+1行×(-7)，4行+1行×(-7)計算をする．

$3$\displaystyle{ =\left({ 23- {\lambda} }\right)\left({\begin{array}1&1&1&1& \vspace{6}\\ 0& - 5- {\lambda} &0&0& \vspace{6}\\ 0&0& - 5- {\lambda} &0& \vspace{6}\\ 0&0&0& - 5- {\lambda} & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =\left({ 23- {\lambda} }\right)\left({\begin{array} - 5- {\lambda} &0&0& \vspace{6}\\ 0& - 5- {\lambda} &0& \vspace{6}\\ 0&0& - 5- {\lambda} & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

定数倍の性質を用いて1行目を簡単にして，次数下げの計算で行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =\left({ 23- {\lambda} }\right)\left({ - 5- {\lambda} }\right)\left({\begin{array} - 5- {\lambda} &0& \vspace{6}\\ 0& - 5- {\lambda} & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =\left({ 23- {\lambda} }\right){\left({ - 5- {\lambda} }\right)}^{3} }$ $3$\displaystyle{ =0 }$ となる．

よって，行列式の固有値は $3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} {\lambda}=23 & \vspace{6}\\ {\lambda}=- 5 & \vspace{6}\\ \end{array} }$ となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月6日