基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，因数分解された形で答えを示せ．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1&x&{x}^{2}&{x}^{3}& \vspace{6}\\ x&{x}^{2}&{x}^{3}&1& \vspace{6}\\ {x}^{2}&{x}^{3}&1&x& \vspace{6}\\ {x}^{3}&1&x&{x}^{2}& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

■答

$3$\displaystyle{{\left({ x- 1 }\right)}^{3}{\left({ x+1 }\right)}^{3}{\left({ {x}^{2}+1 }\right)}^{3}}$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1&x&{x}^{2}&{x}^{3}& \vspace{6}\\ x&{x}^{2}&{x}^{3}&1& \vspace{6}\\ {x}^{2}&{x}^{3}&1&x& \vspace{6}\\ {x}^{3}&1&x&{x}^{2}& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行× $3$\displaystyle{ \left({ - x }\right) }$ ，3行+1行× $3$\displaystyle{ \left({ - {x}^{2} }\right) }$ ，4行+1行× $3$\displaystyle{\displaystyle{\left({ - {x}^{3} }\right)}}$ の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1&x&{x}^{2}&{x}^{3}& \vspace{6}\\ 0&0&0& 1- {x}^{4} & \vspace{6}\\ 0&0& 1- {x}^{4} & x- {x}^{5} & \vspace{6}\\ 0& 1- {x}^{4} & x- {x}^{5} & {x}^{2}- {x}^{6} & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}0&0& 1- {x}^{4} & \vspace{6}\\ 0& 1- {x}^{4} & x- {x}^{5} & \vspace{6}\\ 1- {x}^{4} & x- {x}^{5} & {x}^{2}- {x}^{6} & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

すべての成分に $3$\displaystyle{ 1- {x}^{4} }$ の因数があるので，それでくくる．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}0&0& 1- {x}^{4} & \vspace{6}\\ 0& 1- {x}^{4} & x\left({ 1- {x}^{4} }\right) & \vspace{6}\\ 1- {x}^{4} & x\left({ 1- {x}^{4} }\right) & {x}^{2}\left({ 1- {x}^{4} }\right) & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

各行から $3$\displaystyle{ 1- {x}^{4} }$ を定数倍の性質を用いてくくりだす．

$3$\displaystyle{ ={\left({ 1- {x}^{4} }\right)}^{3}\left({\begin{array}0&0&1& \vspace{6}\\ 0&1&x& \vspace{6}\\ 1&x&{x}^{2}& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行1列目を1にするために行列式の交代制を用いて1行目と3行目を入れ替える．このときに符号が変わる．

$3$\displaystyle{ =- {\left({ 1- {x}^{4} }\right)}^{3}\left({\begin{array}1&x&{x}^{2}& \vspace{6}\\ 0&1&x& \vspace{6}\\ 0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =- {\left({ 1- {x}^{4} }\right)}^{3}\left({\begin{array}1&x& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =- {\left({ 1- {x}^{4} }\right)}^{3} }$

$3$\displaystyle{ 1- {x}^{4} }$ を因数分解すると

$3$\displaystyle{ 1- {x}^{4}=\left({ 1- {x}^{2} }\right)\left({ 1+{x}^{2} }\right)=\left({ 1- x }\right)\left({ 1+x }\right)\left({ 1+{x}^{2} }\right) }$

となる.したがって

$3$\displaystyle{=- {\left{{ \left({ 1- x }\right)\left({ 1+x }\right)\left({ 1+{x}^{2} }\right) }\right}}^{3}}$

$3$\displaystyle{=- {\left({ 1- x }\right)}^{3}{\left({ 1+x }\right)}^{3}{\left({ 1+{x}^{2} }\right)}^{3}}$

$3$\displaystyle{={\left({ x- 1 }\right)}^{3}{\left({ x+1 }\right)}^{3}{\left({ {x}^{2}+1 }\right)}^{3}}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日