基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}x&1&1& \vspace{6}\\ 1&x&1& \vspace{6}\\ 1&1&x& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{ $ x+2 $ { $ x- 1 $ }^{2}}$

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}x&1&1& \vspace{6}\\ 1&x&1& \vspace{6}\\ 1&1&x& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の計算則を用いて1列＋2列，1列＋3列を計算する．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array} x+2 &1&1& \vspace{6}\\ x+2 &x&1& \vspace{6}\\ x+2 &1&x& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

1列の成分がすべて $3$\displaystyle{\displaystyle{ x+2 }}$ となったので，定数倍の性質を用いて1列から $3$\displaystyle{\displaystyle{ x+2 }}$ をくくりだす．

$3$\displaystyle{= $ x+2 $ \| \begin{array}1&1&1& \vspace{6}\\ 1&x&1& \vspace{6}\\ 1&1&x& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1)，3行+1行×(-1)の計算をする．

$3$\displaystyle{= $ x+2 $ \| \begin{array}1&1&1& \vspace{6}\\ 0& x- 1 &0& \vspace{6}\\ 0&0& x- 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{= $ x+2 $ \| \begin{array} x- 1 &0& \vspace{6}\\ 0& x- 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{= $ x+2 $ { $ x- 1 $ }^{2}}$

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}x&1&1& \vspace{6}\\ 1&x&1& \vspace{6}\\ 1&1&x& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

・1行に2行を加える．
・1行に3行を加える．　⇒行列式の計算則

$3$\displaystyle{= \| \begin{array} x+2 & x+2 & x+2 & \vspace{6}\\ 1&x&1& \vspace{6}\\ 1&1&x& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

・1行の共通因数 $3$\displaystyle{x+2}$ をくくり出す⇒定数倍の性質

$3$\displaystyle{= $ x+2 $ \| \begin{array}1&1&1& \vspace{6}\\ 1&x&1& \vspace{6}\\ 1&1&x& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

・2行に1行の-1倍を加える．
・3行に1行の-1倍を加える．　⇒行列式の計算則

$3$\displaystyle{= $ x+2 $ \| \begin{array}1&1&1& \vspace{6}\\ 0& x- 1 &0& \vspace{6}\\ 0&0& x- 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

・次数下げをする．　⇒次数下げの計算

$3$\displaystyle{= $ x+2 $ \| \begin{array} x- 1 &0& \vspace{6}\\ 0& x- 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{= $ x+2 $ { $ x- 1 $ }^{2}}$

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}x&1&1& \vspace{6}\\ 1&x&1& \vspace{6}\\ 1&1&x& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{ =- \| \begin{array}1&x&1& \vspace{6}\\ x&1&1& \vspace{6}\\ 1&1&x& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

・2行に1行の $3$\displaystyle{- x}$ 倍を加える

・3行に1行の-1倍を加える．　⇒行列式の計算則

$3$\displaystyle{ =- \| \begin{array}1&x&1& \vspace{6}\\ 0& 1- {x}^{2} & 1- x & \vspace{6}\\ 0& 1- x & x- 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

・次数下げをする．　⇒次数下げの計算

・各成分を因数分解する．

$3$\displaystyle{ =- \| \begin{array} $ 1- x $ $ 1+x $ & 1- x & \vspace{6}\\ 1- x & - $ 1- x $ & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

・1行の共通因数 $3$\displaystyle{ 1- x }$ をくくり出す．

・2行の共通因数 $3$\displaystyle{ 1- x }$ をくくり出す．

$3$\displaystyle{=- { $ 1- x $ }^{2} \| \begin{array} 1+x &1& \vspace{6}\\ 1& - 1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{=- { $ 1- x $ }^{2} $ - 1- x- 1 $ }$

$3$\displaystyle{= $ x+2 $ { $ x- 1 $ }^{2}}$

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年7月10日