行列の対角化

■問題

$3$\displaystyle{A= $ \begin{array}4& - 3 & \vspace{6}\\ 2&- 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ を行列 $3$\displaystyle{P}$ を用いて対角化せよ．

■答

$3$\displaystyle{P=\left({ \begin{array}1&3& \vspace{6}\\ 1&2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ のとき $3$\displaystyle{{P}^{ - 1 }AP= $ \begin{array}1&0& \vspace{6}\\ 0&2& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{P=\left({ \begin{array}3&1& \vspace{6}\\ 2&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ のとき $3$\displaystyle{{P}^{ - 1 }AP= $ \begin{array}2&0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

行列 $3$\displaystyle{A}$ を対角化するための行列 $3$\displaystyle{P}$ は他にも多くある．

■計算

$3$\displaystyle{A\mathbb{x}={\lambda}\mathbb{x}}$ より， $3$\displaystyle{$A- {\lambda}E$\mathbb{x}=\displaystyle{0}}$ ･･････(1)

ここで

$3$\displaystyle{Τ=A- {\lambda}E}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{= $ \begin{array}4& - 3 & \vspace{6}\\ 2&- 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ \hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}- $ \begin{array}{\lambda}&0& \vspace{6}\\ 0&{\lambda}& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{= $ \begin{array} 4- {\lambda} & - 3 & \vspace{6}\\ 2& - 1- {\lambda} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

とおく．

与式は，自明な解( $3$\displaystyle{\displaystyle{x}=\displaystyle{0}}$ ) 以外の解をもつので，

$3$\displaystyle{ \|Τ\| = \| A- {\lambda}E \| \hspace{10} }$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{= \| \begin{array} 4- {\lambda} & - 3 & \vspace{6}\\ 2& - 1- {\lambda} & \vspace{6}\\ \end{array} \| =0}$

$3$\displaystyle{$4- {\lambda}$$- 1- {\lambda}$+6=0}$ ， $3$\displaystyle{{{\lambda}}^{2}- 3{\lambda}+2=0}$

$3$\displaystyle{${\lambda}- 1$${\lambda}- 2$=0}$

$3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet {\lambda}＝1,2}$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。

(i) $3$\displaystyle{{\lambda}=1}$ のとき，固有ベクトルを $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{\alpha }_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{\alpha }_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ とおくと，(1)は

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}3& - 3 & \vspace{6}\\ 2& - 2 & \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array} \hspace{1}{{\alpha}}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{{\alpha}}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

となり

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\alpha}}_{1}- \hspace{1}{{\alpha}}_{2}=0}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\alpha }_{1}=\hspace{1}{\alpha }_{2}}$

となる．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\alpha}}_{1} = \hspace{1}{{\alpha}}_{2} = \hspace{1}{k}_{1} }$ とおくと

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{\alpha }_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{\alpha }_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\hspace{1}{k}_{1}\left({ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

(ii) $3$\displaystyle{{\lambda}=2}$ のとき，固有ベクトルを $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{{\beta}}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{{\beta}}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ とおくと，(1)は

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}2& - 3 & \vspace{6}\\ 2& - 3 & \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array} \hspace{1}{{\beta}}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{{\beta}}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

となり

$3$\displaystyle{2\hspace{1}{{\beta}}_{1}- 3\hspace{1}{{\beta}}_{2}=0}$ ， $3$\displaystyle{2\hspace{1}{{\beta}}_{1}=3\hspace{1}{{\beta}}_{2}}$

となる．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\beta}}_{1} =3\hspace{1}{k}_{2}}$ とおくと, $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\beta}}_{2} =2\hspace{1}{k}_{2}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{{\beta}}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{{\beta}}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\hspace{1}{k}_{2}\left({ \begin{array}3& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

(i)(ii)より， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}\prime =\left({ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ は固有値 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}=1}$ の固有ベクトル， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}\prime =\left({ \begin{array}3& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ は固有値 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{2}=2}$ の固有ベクトルである．

対角化可能であるための条件その1，その2より行列 $3$\displaystyle{A}$ は

$3$\displaystyle{P=\left({ \begin{array} \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}\prime & \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}\prime & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array}1&3& \vspace{6}\\ 1&2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

で対角化可能で

$3$\displaystyle{{P}^{ - 1 }AP=\left({ \begin{array} \hspace{1}{{\lambda}}_{1} &0& \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{{\lambda}}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array}1&0& \vspace{6}\\ 0&2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

となる.

$3$\displaystyle{P=\left({ \begin{array} \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}\prime & \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}\prime & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array}3&1& \vspace{6}\\ 2&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

とすると

$3$\displaystyle{{P}^{ - 1 }AP=\left({ \begin{array} \hspace{1}{{\lambda}}_{2} &0& \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{{\lambda}}_{1} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array}2&0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

となる.

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最終更新日： 2023年2月10日