円のグラフと楕円のグラフとの関係に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}=1}$ の円のグラフを原点を中心として， $3$x$ 軸方向に2倍， $3$y$ 軸方向に3倍した（拡大した）グラフを表す式を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}=1}$

■解説

関数 $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ のグラフを原点を中心として， $3$x$ 軸方向に $3$c$ 倍， $3$y$ 軸方向に $3$d$ 倍したグラフを表す関数は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}d\hspace{2}}=f $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}} $ }$ 　

となる(グラフの拡大を参照)．今回は

$3$\displaystyle{c=2}$ ， $3$\displaystyle{d=3}$

に対応する．よって $3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}=1}$ を

$3$\displaystyle{x\rightarrow \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{y\rightarrow \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

に書き換えて

$3$\displaystyle{ { \left({ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right) }^{2}+{ \left({ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }^{2}=1 }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}=1 }$

となる．これが求める関数で楕円の方程式になっている．

円を拡大変形すると楕円になる．

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最終更新日： 2024年9月13日