方程式の解の存在に関する問題

■問題

解の存在定理を用いて，方程式 $3$\displaystyle{{3}^{x}=6x- 1}$ が， $3$\displaystyle{0< x< 1}$ の区間に実数解を持つことを示せ．

■解説動画

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■ヒント

関数 $3$\displaystyle{ y=f\left({x}\right) }$ が閉区間 $3$\displaystyle{\left[{ a,b }\right]}$ において連続で，かつ， $3$\displaystyle{f\left({a}\right)\cdot f\left({b}\right)< 0}$ ならば，開区間 $3$\displaystyle{\left({ a,b }\right)}$ に方程式 $3$\displaystyle{f\left({x}\right)=0}$ の実数解が少なくとも1つの存在する．

■答

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)={3}^{x}- 6x+1}$ と置く．

指数関数 $3$\displaystyle{{3}^{x}}$ と一次関数 $3$\displaystyle{6x- 1}$ の差から成る関数 $3$\displaystyle{f\left({x}\right)}$ は実数全体で連続である．よって

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)}$ は， $3$\displaystyle{0< x< 1}$ の区間で連続である　･･････(1)

また

$3$\displaystyle{f\left({0}\right)={3}^{0}- 6\cdot 0+1}$ $3$\displaystyle{=1- 0+1}$ $3$\displaystyle{=2}$ ･･････(2)

$3$\displaystyle{f\left({1}\right)={3}^{1}- 6\cdot 1+1}$ $3$\displaystyle{=3- 6+1}$ $3$\displaystyle{=- 2}$ ･･････(3)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{f\left({0}\right)\cdot f\left({1}\right)=2\cdot \left({ - 2 }\right)=- 4< 0}$ ･･････(4)

である．

(1)と(4)，および，方程式の実数解の存在定理より

方程式 $3$\displaystyle{{3}^{x}=6x- 1}$ は， $3$\displaystyle{0< x< 1}$ の区間に少なくとも1つ実数解を持つ

ことになる．

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最終更新日： 2025年4月27日