加法定理の問題

■問題

加法定理を利用し，以下に示す式の値を求めよ．

$3$\displaystyle{ \sin { 15 }^{^\circ } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \sqrt{6}- \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ { 15 }^{^\circ }={ 45 }^{^\circ }- { 30 }^{^\circ } }$ と考えて加法定理を使って計算する．

■解き方

加法定理を使って解くと

$3$\displaystyle{ \sin { 15 }^{^\circ } }$ $3$\displaystyle{ =\sin $ { 45 }^{^\circ }- { 30 }^{^\circ } $ }$

$3$\displaystyle{ =\sin { 45 }^{^\circ }\cos { 30 }^{^\circ }- \cos { 45 }^{^\circ }\sin { 30 }^{^\circ } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\times \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\times \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \sqrt{6}- \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$

●別解

半角の公式を使って解くと

$3$\displaystyle{\sin 15^\circ =\sin \frac{\hspace{2} 30^\circ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

より

$3$\displaystyle{{ $ \sin \frac{\hspace{2} 30^\circ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 1- \cos 30^\circ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 1- \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2- \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

よって， $3$\displaystyle{ \sin 15^\circ > 0 }$ に注意すると

$3$\displaystyle{\sin 15^\circ }$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ \frac{\hspace{2} 2- \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }}$

2重根号を外すために以下のように計算を進める．2重根号のはずし方を参照

$3$\sqrt{3}$ のところが $3$2\sqrt{3}$ になるように， $3$\frac{\hspace{2} 2- \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}$ の分母，分子に $3$2$ を掛ける

$3$\displaystyle{=\sqrt{ \frac{\hspace{2} 4- 2\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} }}$

$3${\left({ \sqrt{a}- \sqrt{b} }\right)}^{2}=a+b- 2\sqrt{ ab }$ より， $3$a+b=4$ ， $3$ab=3$ ， $3$a> b$ となる $3$a$ ， $3$b$ を求めると， $3$a=3$ ， $3$b=1$ となる．よって

$3$\displaystyle{ =\sqrt{ \frac{\hspace{2} { \left({ \sqrt{3}- \sqrt{1} }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} } }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{3}- \sqrt{1} \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{6}- \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年2月5日