不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int { \tan }^{2}2x dx }$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\tan 2x- x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

$3$\displaystyle{ \int {x}^{{\alpha}} dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 }+C }$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{ \int { \sec }^{2}x dx=\tan x+C }$ ･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ { \tan }^{2}x+1=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}} }$ （三角関数の相互関係を参照）

より

$3$\displaystyle{ { \tan }^{2}x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}- 1 }$

となる．よって

$3$\displaystyle{ { \tan }^{2}2x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}- 1 }$

が得られる．また

$3$\displaystyle{ { \sec }^{2}x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}} }$

より，公式(2)は

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}} dx=\tan x+C }$ ･･････(3)

となる．

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}- 1 $ }dx }$

$3$\displaystyle{ =\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}} dx- \int dx }$

(不定積分の基本式の $3$\displaystyle{2}$ つ目の式を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\tan 2x- x+C }$ （ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数) 　　

（(3)とヒントの公式(1)にあてはめた）

●別解

$3$\displaystyle{\tan 2x=t}$ とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}\cdot {\left({ 2x }\right)}^{\prime }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=2\left({ 1+{ \tan }^{2}x }\right)}$ $3$\displaystyle{=2\left({ 1+{t}^{2} }\right)}$ （参考： $3$\displaystyle{1+{\tan }^{2}x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}}$ ）

$3$\displaystyle{\rightarrow dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\left({ 1+{t}^{2} }\right) \hspace{2}}dt}$

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int {t}^{2}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\left({ 1+{t}^{2} }\right) \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} {t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} 1+{t}^{2}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \left({ 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}} }\right)dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ t- { \tan }^{ - 1 }t }\right)+C}$

（ $3$\displaystyle{\displaystyle{ ∫ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{x}^{2} \hspace{2}}dx }}$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 の公式を用いた）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left{{ \tan 2x- { \tan }^{ - 1 }\left({ \tan 2x }\right) }\right}+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \tan 2x- 2x }\right)+C}$

（ $3$\displaystyle{{\tan }^{ - 1 }\left({ \tan 2x }\right)=y}$ とおと， $3$\displaystyle{\tan y=\tan 2x}$ ．よって $3$\displaystyle{y=2x}$ ）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\tan 2x- x+C}$

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\tan 2x- x+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ { \tan }^{2}2x }$ に戻ることを確認しなさい．

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>> $3$\displaystyle{ \int { \tan }^{2}2x dx }$

学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年9月15日