不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int \sin x\cos xdx }$ 　

■ヒント

2倍角の公式

三角関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int \sin xdx=- \cos x+C }$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■答

2倍角の公式より

$3$\displaystyle{ \sin x\cos x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2x }$ 　･･････(2)

となる．

与式 $3$\displaystyle{ =\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2xdx }$ 　

（与式に(2)を代入した）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\int \sin 2xdx }$ 　

（ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ を積分記号 $3$\displaystyle{ \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos 2x+C $ }$ 　

（ヒントの公式(1)を参照）

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$ 　

（ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}C}$ を $3$C$ に書き換えている）

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ \sin x\cos x }$ 　に戻ることを確認しなさい．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日