不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}} }dx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ 8\sqrt{x}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(1)より

$3$\displaystyle{ \int cf $x$ dx =c\int f $x$ dx }$ ･･････(1)

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int {x}^{{\alpha}} dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}} }dx }$

(1)を用いて

$3$\displaystyle{ =4\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}} }dx }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}} }$ を基本となる関数の積分を用いることのできる形に変形すると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}}={ \sqrt{x} }^{ - 1 }={x}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$

となる．よって

$3$\displaystyle{ =4\displaystyle{ \int {x}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }dx }$

(2)を用いて積分すると

$3$\displaystyle{=4\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \text{ }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1\text{\hspace{1}} \hspace{2}}{x}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1 }+C}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{=4\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \text{ }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{\hspace{1}} \hspace{2}}{x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }+C}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ =8\sqrt{x}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

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最終更新日： 2025年6月11日