不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{\int { $ x+1 $ }^{5}dx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{ $ x+1 $ }^{6}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha } }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C }$ ･･････(1) 　

（ $3$C$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{\int { $ x+1 $ }^{5}dx } }$

$3$\displaystyle{ x+1=t }$ とおいて，置換積分をする．（置換積分については置換積分法を参照）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=1}$ →　 $3$\displaystyle{ dx=dt }$

よって

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int {t}^{5}dt } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{t}^{6}+C }$

(基本となる関数の積分を参照)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{ $ x+1 $ }^{6}+C }$

（最初に， $3$\displaystyle{ x+1=t }$ と置換したので，元にもどした）

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最終更新日： 2025年6月12日