不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 5x+2 \hspace{2}}dx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\log \| 5x+2 \| +C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx=\log \|x\| +C } }$ （ $3$C$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 5x+2 \hspace{2}}dx } }$

$3$\displaystyle{ 5x+2=t }$ と置いて置換積分する. （置換積分の詳細は置換積分法を参照）

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=5\text{ }\rightarrow \text{ }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}dt }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

よって

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}dt } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}dt } }$

( $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }$ が $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int } }$ の前にくるのは（不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\cdot \log \|t\| +C }$

（基本となる関数の積分を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\log \| 5x+2 \| +C }$ （ $3$C$ は積分定数）

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最終更新日： 2025年7月1日