不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} {x}^{3}+x+1 \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+1 \hspace{2}} }dx }$

■解説動画

積分の動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+{ \tan }^{ - 1 }{\theta}+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

分子の次数を分母の次数より下げる．

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int xdx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+a \hspace{2}}{x}^{ 1+a }+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+{a}^{2} \hspace{2}} dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{ \tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}+C }$ 　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {x}^{3}+x+1 \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+1 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} x $ {x}^{2}+1 $ +1 \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+1 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} x $ {x}^{2}+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+1 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+1 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+1 \hspace{2}} }$

と考える．

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int $ x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+1 \hspace{2}} $ }dx }$ 　

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int xdx+\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+1 \hspace{2}}dx } } }$ 　　

（不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}{ \tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}+C }$ 　　

（ヒントの公式(1)，(2)を適用した）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+{ \tan }^{ - 1 }x+C }$

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+{ \tan }^{ - 1 }x+C }$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {x}^{3}+x+1 \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+1 \hspace{2}} }$ 　に戻ることを確認しなさい．

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>> $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} {x}^{3}+x+1 \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+1 \hspace{2}} }dx }$

学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年7月25日